专题4 双变量存在恒成立与存在性问题-【高分突破系列】2021-2022学年高二数学下学期同步知识点剖析精品讲义(人教A版2019选择性必修第二、三册)

双变量恒成立与存在性问题 恒成立问题、存在性问题归根到底是最值问题. 1 恒成立问题 恒成立在上的； 恒成立在上的； 2 存在性问题 恒成立在上的； 恒成立在上的； 3双变量存在—恒成立问题 恒成立； 恒成立； 恒成立； 恒成立； 4 常见处理方法 方法1 直接构造函数法：求恒成立恒成立. 方法2 分离参数法：求 其中恒成立恒成立. 方法3 变更主元：题型特征(已知谁的范围把谁作为主元)； 方法4 数形结合法：求恒成立证明在的上方； 方法5 同构法：对不等式进行变形，使得不等式左右两边式子的结构一致，再通过构造的函数单调性进行求解； 方法6 放缩法：利用常见的不等式或切线放缩或三角函数有界性等手段对所求不等式逐步放缩达到证明所求不等式恒成立的目的； 学习各种方法时，要注意理解它们各自之间的优劣性，有了比较才能快速判断某种题境中采取哪种方法较简洁，建议学习时一题多解，多发散思考. 【典题1】已知两个函数，其中为实数. (1)对任意，都有成立，求的取值范围； (2)存在，使成立，求的取值范围； (3)对任意，都有，求的取值范围. 【典题2】 已知函数，．若对，，使成立，则的取值范围是 . 【典题3】 已知函数，，． (1)求的最大值； (2)若对，总存在，使得成立，求实数的取值范围； (3)证明不等式其中是自然对数的底数)． 1(★★) 已知，函数，使得，则的取值范围　 　． 2(★★)已知函数，，若任意，都存在，使得，则实数的取值范围是　 　． 3(★★★)已知函数，若对任意的，都存在，使得，则实数的最大值为　 　． 4(★★★) 已知函数，若对任意的，都有恒成立，则实数的最大值是　 　． 5(★★★) 设，． (1)求在上的值域； (2)若对于任意，总存在，使得成立，求的取值范围． 6(★★★) 设函数在开区间内有极值． (1)求实数的取值范围； (2)若．求证：． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！（北京）股份有限公司13 zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $双变量存在---恒成立问题 恒成立问题、存在性问题归根到底是最值问题. 1 恒成立问题 恒成立在上的； 恒成立在上的； 2 存在性问题 恒成立在上的； 恒成立在上的； 3双变量存在—恒成立问题 恒成立； 恒成立； 恒成立； 恒成立； 4 常见处理方法 方法1 直接构造函数法：求恒成立恒成立. 方法2 分离参数法：求 其中恒成立恒成立. 方法3 变更主元：题型特征(已知谁的范围把谁作为主元)； 方法4 数形结合法：求恒成立证明在的上方； 方法5 同构法：对不等式进行变形，使得不等式左右两边式子的结构一致，再通过构造的函数单调性进行求解； 方法6 放缩法：利用常见的不等式或切线放缩或三角函数有界性等手段对所求不等式逐步放缩达到证明所求不等式恒成立的目的； 学习各种方法时，要注意理解它们各自之间的优劣性，有了比较才能快速判断某种题境中采取哪种方法较简洁，建议学习时一题多解，多发散思考. 【典题1】已知两个函数，其中为实数. (1)对任意，都有成立，求的取值范围； (2)存在，使成立，求的取值范围； (3)对任意，都有，求的取值范围. 【解析】(1)设 问题转化为时，恒成立，故； 易得，由. (2)据题意：存在，使成立 在有解， 易得，于是. (3) 问题转化为， 易得，， 则. 【点拨】 ① 第一问是恒成立问题，第二问是存在性问题，第三问是双变量成立问题； ② 第三问怎么确定，即到底是函数最大值还是最小值呢？ 可把问题转化为第一、二问的问题，具体如下， 先把看成定值，那，都有，当然是要； 再把看成定值，那，都有，当然是； 故问题转化为. 其他形式的双变量成立问题同理. 【典题2】 已知函数，．若对，，使成立，则的取值范围是 . 【解析】(若要满足成立，则的值域包含的值域) 因为，， 所以，令，解得， 故在递增，在递减，故， 而时，，时，， 故， 因为，， 所以当时，，故在递增， 则，， 故， 若对，，使成立， 则， 故，解得：. 【典题3】 已知函数，，． (1)求的最大值； (2)若对，总存在，使得成立，求实数的取值范围； (3)证明不等式其中是自然对数的底数)． 【解析】(1)过程略，当时取得最大值为； (2)解：对，总存在，使得成立， 等价于成立， 由(1)知，， 则问题等价于， 因为，所以， 当时，，(利用三角函数的有界性) ①当时，若，，单调递减，，不合题意； ②当时，，使得， 若，，若时，， 即当， 则∃，使得，符合题意； ③当时，若，，单调递增，， 则∃，使得，符合题意， 综上可知，所求实数的范围是； (3)证明：由(2)可