专题 立体几何之所成角-【高分突破系列】2021-2022学年高一数学下学期同步知识点剖析精品讲义(人教A版2019必修第二册)

立体几何之所成角 1 异面直线所成的角 ① 范围 ; ② 作异面直线所成的角:平移法. 如图,在空间任取一点过作则 所成的角为异面直线所成的角.特别地,找异面直线所成的角时,经常把一条异面直线平移到另一条异面直线的特殊点(如线段中点,端点等)上,形成异面直线所成的角. 2 线面所成的角 ① 定义 如下图,平面的一条斜线(直线)和它在平面上的射影()所成的角,叫做这条直线和这个平面所成的角. 一条直线垂直平面,则;一条直线和平面平行或在平面内,则. ② 范围 3 二面角 ① 定义 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角. 在二面角的棱上任取一点以点为垂足,在半平面和内分别作垂直于棱的射线和则射线和构成的叫做二面角的平面角. ② 范围 . 【题型一】异面直线所成的角 【典题1】 如图,正方体中,点分别是的中点,则与所成角为 ( ) A. B. C. D. 【典题2】 如图所示,在棱长为2的正方体中是底面的中心分别是的中点,那么异面直线和所成角的余弦值等于 . 【典题3】 如图,已知是平行四边形所在平面外一点分别是,的中点. (1)求证:平面; (2)若求异面直线与所成的角的大小. 【题型二】线面所成的角 【典题1】 如图,直角梯形与等腰直角三角形所在的平面互相垂直. . (1)求证:; (2)求直线与平面所成角的正弦值. 【典题2】 如图,四边形为正方形平面且点在上的射影为点点在边上,平面平面. (1)求证:平面;(2)求的长;(3)求直线与平面所成角的余弦值. 【典题3】 如图,正四棱锥中分别为的中点.设为线段上任意一点. (Ⅰ)求证:; (Ⅱ)当为线段的中点时,求直线与平面所成角的余弦值. 【题型三】二面角 【典题1】 如图,在棱长为的正方体中与相交于点. 求二面角的正切值. 【典题2】 如图,四棱锥中,底面为矩形底面点是棱的中点. (1)求直线与平面的距离; (2)若求二面角的平面角的余弦值. 【典题3】 如图,已知三棱锥平面为的中点. (1)求证:.(2)求二面角的大小. 1(★) 在正方体中,点在线段上运动,则异面直线与所成的角的取值范围是 ( ) A. B. C. D. 2(★★) 如图所示的几何体,是将高为2、底面半径为1的圆柱沿过旋转轴的平面切开后,将其中一半沿切面向右水平平移后形成的封闭体.分别为的中点为弧的中点为弧的中点.则异面直线与所成的角的余弦值为 . 3 (★★) 如图所示,在正方体中是上一点是的中点,平面. (1)求证:平面; (2)求与平面所成的角. 4(★★★) 如图平面分别为的中点. (1)证明:平面; (2)求与平面所成角的正弦值. 5(★★★) 四棱锥中⊥平面四边形为菱形为的中点. (1)求证:平面平面; (2)求与平面所成的角的正切值; (3)求二面角的正弦值. 6(★★★) 如图是圆的直径,点是圆上异于的点,直线平面分别是的中点. (1)记平面与平面的交线为试判断直线平面的位置关系,并加以证明; (2)设求二面角大小的取值范围. 原创精品资源学科网独家享有版权,侵权必究!(北京)股份有限公司13 zxxk.com 学科网(北京)股份有限公司zxxk.com 学科网(北京)股份有限公司 学科网(北京)股份有限公司 $立体几何之所成角 1 异面直线所成的角 ① 范围 ； ② 作异面直线所成的角：平移法. 如图,在空间任取一点过作则 所成的角为异面直线所成的角.特别地,找异面直线所成的角时,经常把一条异面直线平移到另一条异面直线的特殊点(如线段中点,端点等)上,形成异面直线所成的角. 2 线面所成的角 ① 定义 如下图，平面的一条斜线(直线)和它在平面上的射影()所成的角，叫做这条直线和这个平面所成的角. 一条直线垂直平面，则；一条直线和平面平行或在平面内，则. ② 范围 3 二面角 ① 定义 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角. 在二面角的棱上任取一点以点为垂足,在半平面和内分别作垂直于棱的射线和则射线和构成的叫做二面角的平面角. ② 范围 . 【题型一】异面直线所成的角 【典题1】 如图,正方体中，点分别是的中点，则与所成角为 (　　) A． B． C． D． 【解析】 连结 正方体中,点分别是的中点， 是与所成角, ．与所成角为60°． 故选． 【点拨】 ① 找异面直线所成的角,主要是把两条异面直线通过平移使得它们共面,可平移一条直线也可以同时平移两条直线； ② 平移时常利用中位线、平行四边形的性质； 【典题2】 如图所示,在棱长为2的正方体中是底面的中心分别是的中点,那么异面直线和所成角的余弦值等于　　． 【解析】 取的中点．连接则再取的中点连接则 是的中点,∴为异面直线所成的角． 在中．