第08讲 乘法公式的应用专题探究-【专题突破】2021-2022学年七年级数学下学期重难点及章节分类精品讲义(浙教版)

第8讲 乘法公式的应用专题探究 (一)利用乘法公式求面积: 【例题典析】 1.(2020•郴州)如图1,将边长为x的大正方形剪去一个边长为1的小正方形(阴影部分),并将剩余部分沿虚线剪开,得到两个长方形,再将这两个长方形拼成图2所示长方形.这两个图能解释下列哪个等式( ) A.x2﹣2x+1=(x﹣1)2 B.x2﹣1=(x+1)(x﹣1) C.x2+2x+1=(x+1)2 D.x2﹣x=x(x﹣1) 【分析】根据图形可以用代数式表示出图1和图2的面积,由此得出等量关系即可. 【解答】解:由图可知, 图1的面积为:x2﹣12, 图2的面积为:(x+1)(x﹣1), 所以x2﹣1=(x+1)(x﹣1). 故选:B. 2.(2021春•上虞区期末)将图1中四个阴影小正方形拼成边长为a的正方形,如图2所示,根据两个图形中阴影部分面积间的关系,可以验证下列哪个乘法公式( ) A.(a﹣b)2=a2﹣2ab+b2 B.(a+b)(a﹣b)=a2﹣b2 C.(a+b)2=a2+2ab+b2 D.(a+b)2=(a﹣b)2+4ab 【分析】从整体和部分两个方面,分别表示阴影部分的面积即可. 【解答】解:图2中的四个阴影小正方形可以拼成一个边长为(a﹣b)的正方形,如图1,因此面积为(a﹣b)2, 图2中,四个阴影小正方形的面积和,可以看作从边长为a的大正方形中减去空白部分的面积,即a2﹣2ab+b2, 因此有(a﹣b)2=a2﹣2ab+b2, 故选:A. 3.(2020秋•丛台区校级期末)如图,两个正方形边长分别为a,b,如果a+b=10,ab=18,则阴影部分的面积为( ) A.21 B.22 C.23 D.24 【分析】表示出空白三角形的面积,用总面积减去两个空白三角形的面积即可,再将得到的等式变形后,利用整体代入求值即可. 【解答】解:如图,三角形②的一条直角边为(a﹣b),另一条直角边为b,因此S△②=(a﹣b)b=ab﹣b2, S△①=a2, ∴S阴影部分=S大正方形﹣S△①﹣S△②, =a2﹣ab+b2, =[(a+b)2﹣3ab], =(100﹣54) =23, 故选:C. 4.(2021•宁波模拟)如图①,现有边长为b和a+b的正方形纸片各一张,长和宽分别为b,a的长方形纸片一张,其中a<b.把纸片Ⅰ,Ⅲ按图②所示的方式放入纸片Ⅱ内,已知图②中阴影部分的面积满足S1=6S2,则a,b满足的关系式为( ) A.3b=4a B.2b=3a C.3b=5a D.b=2a 【分析】用含a,b的代数式表示出S1,S2,即可得出答案. 【解答】解:由题意得,,, ∵S1=6S2, ∴2ab=6(ab﹣a2), 2ab=6ab﹣6a2, ∵a≠0, ∴b=3b﹣3a, ∴2b=3a, 故选:B. 5.(2021春•镇海区期末)将大小不一的正方形纸片①、②、③、④放置在如图所示的长方形ABCD内(相同纸片之间不重叠),其中AB=a.小明发现:通过边长的平移和转化,阴影部分⑤的周长与正方形①的边长有关,那么阴影部分⑥与阴影部分⑤的周长之差与正方形( )(填编号)的边长有关. A.① B.② C.③ D.④ 【分析】设②的边长是m.用m,a表示出⑤的周长即可解决问题. 【解答】解:设②的边长是m. ∴阴影部分⑤的周长是2(a﹣m), ∴阴影部分⑥﹣阴影部分⑤=2a﹣2(a﹣m)=2m. 故选:B. 6.把四张形状、大小完全相同的小长方形卡片(如图①)不重叠地放在一个底面为长方形的盒子底部,按图甲和图乙两种方式摆放,若长方体盒子底部的长与宽的差为3,则图甲和图乙中阴影部分周长之差为( ) A.3 B.6 C.9 D.12 【分析】根据图形可直接得出图甲中阴影部分的周长是2个长+2个宽,根据图乙表示AB和EF的长,表示图乙中阴影部分的周长,计算即可. 【解答】解:由图乙知:长方体盒子底部的长为a+2b,则宽为a+2b﹣3, 图甲中阴影部分图形的周长是:2(a+2b)+2(a+2b﹣3)=4a+8b﹣6, 图乙中:BC+DE=a+2b,AB=a+2b﹣3﹣2b=a﹣3,EF=a+2b﹣3﹣a=2b﹣3, 则图乙中阴影部分的周长和是:2(a+2b)+2(a﹣3)+2(2b﹣3)=4a+8b﹣12, (4a+8b﹣6)﹣(4a+8b﹣12)=6, 故选:B. 7.(2021春•吴兴区期末)若用如图①这样一副七巧板,拼成图②的图案,则图②中阴影部分的面积是空白部分面积的( ) A. B. C. D. 【分析】图②中阴影部分的面积是三个等腰直角三角形面积的和,设图①中拼成的大正方形的边长为1,分别求出三个等腰直角三角形的面积,再相加,然后求出空白部分的面积,最后相除即可求出答案. 【解答】解:如图: 设图①中拼成的大正方形的边长为1,则整个图案的面积是12