专题9.10 四边形的判定与性质综合大题专项训练（30道）-2021-2022学年八年级数学下册举一反三系列（苏科版）【学科网名师堂】

专题9.10 四边形的判定与性质综合大题专项训练（30道） 【苏科版】 1．（2021秋•九江期末）如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠C．点E、F、G分别在边AB、BC、CD上，AE＝GF＝GC． （1）求证：四边形AEFG是平行四边形； （2）当∠FGC与∠EFB满足怎样的关系时，四边形AEFG是矩形．请说明理由． 【分析】（1）要证明该四边形是平行四边形，只需证明AE∥FG．根据对边对等角∠GFC＝∠C，和等腰梯形的性质得到∠B＝∠C，则∠B＝∠GFC，得到AE∥FG． （2）在平行四边形的基础上要证明是矩形，只需证明有一个角是直角．根据三角形FGC的内角和是180°，结合∠FGC＝2∠EFB和∠GFC＝∠C，得到∠BFE+GFC＝90°．则∠EFG＝90°，于是得到结论． 【解答】（1）证明：在四边形ABCD中，∠B＝∠C， ∵GF＝GC， ∴∠C＝∠GFC，∠B＝∠GFC， ∴AB∥GF， 即AE∥GF， ∵AE＝GF， ∴四边形AEFG是平行四边形． （2）解：当∠FGC＝2∠EFB时，四边形AEFG是矩形， 理由：∵∠FGC+∠GFC+∠C＝180o，∠GFC＝∠C，∠FGC＝2∠EFB， ∴2∠GFC+2∠EFB＝180°， ∴∠BFE+∠GFC＝90°． ∴∠EFG＝90°． ∵四边形AEFG是平行四边形， ∴四边形AEFG是矩形． 2．（2021秋•崂山区期末）如图，在▱ABCD中，AC⊥CD． （1）延长DC到E，使CE＝CD，连接BE，求证：四边形ABEC是矩形； （2）若点F，G分别是BC，AD的中点，连接AFCG，试判断四边形AFCG是什么特殊的四边形？并证明你的结论． 【分析】（1）先证四边形ABEC是平行四边形，再证∠ACE＝90°，即可得出结论； （2）先证四边形AFCG是平行四边形，再由矩形的性质得∠BAC＝90°，然后由直角三角形斜边上的中线性质得AFBC＝CF，即可得出结论． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD，AB∥CD， ∵CE＝CD， ∴AB＝CE， ∴四边形ABEC是平行四边形， 又∵AC⊥CD， ∴∠ACE＝90°， ∴平行四边形ABEC是矩形； （2）解：四边形AFCG是菱形，理由如下： ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD＝BC，AD∥BC， ∵点F，G分别是BC，AD的中点， ∴CFBC，AGAD， ∴CF＝AG， ∴四边形AFCG是平行四边形， 由（1）可知，四边形ABEC是矩形， ∴∠BAC＝90°， ∵F是BC的中点， ∴AFBC＝CF， ∴平行四边形AFCG是菱形． 3．（2021秋•渝中区校级期末）如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于O点，DE⊥AC于E点，BF⊥AC于F． （1）求证：四边形DEBF为平行四边形； （2）若AB＝20，AD＝13，AC＝21，求△DOE的面积． 【分析】（1）根据平行四边形的性质和全等三角形的判定和性质解答即可； （2）根据勾股定理和三角形面积公式解答即可． 【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD＝BC，AD∥BC， ∴∠DAE＝∠BCF， ∵DE⊥AC于E点，BF⊥AC于F， ∴∠DEA＝∠BFC＝90°， 在△DEA与△BFC中， ， ∴△DEA≌△BFC（AAS）， ∴DE＝BF， ∵∠DEA＝∠BFC＝90°， ∴∠DEO＝∠BFO＝90°， ∴DE∥BF， ∴四边形DEBF是平行四边形； （2）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝DC＝20，AO＝OC＝10.5， ∵DE⊥AC， 在Rt△ADE中，AD2﹣AE2＝DE2， 在Rt△DEC中，DC2﹣EC2＝DE2， 即132﹣AE2＝202﹣（21﹣AE）2， 解得：AE＝5， ∴OE＝OA﹣AE＝10.5﹣5＝5.5，DE＝12， ∴△DOE的面积． 4．（2021秋•沙坪坝区校级期末）如图，在▱ABCD中，E、F分别为AB、CD边上两点，FB平分∠EFC． （1）如图1，若AE＝2，EF＝5，求CD的长； （2）如图2，∠BCD＝45°，BC⊥BD，若G为EF上一点，且∠GBF＝∠EFD，求证：FG+2FD＝AB． 【分析】（1）由平行四边形的性质可得∠ABF＝∠BFC，AB＝CD，结合角平分线的定义可求得∠ABF＝∠EFB，即可求BE＝EF＝5，进而可求解； （2）在FC上截取FH＝FG，连接BH，利用SAS证明△BGF≌△BHF可得∠BGF＝∠BHF，结合三角形的内角和定理可得∠BFD＝∠BHC，结合等腰直角三角形的性质利用AAS证明△BDF≌△BCH可得DF＝CH，进而可证明结论． 【解答】（1）解：在▱ABCD中，AB∥CD，AB＝CD， ∴∠ABF＝∠BFC， ∵FB平分∠EFC， ∴