1.4数列在日常经济生活中的应用（讲义+典型例题+小练）-2021-2022学年高二数学北师大版（2019）选择性必修第二册

1.4数列在日常经济生活中的应用（讲义+典型例题+小练） 1、 例述数列在生活中的应用 数学不仅仅是我们生活中的工具，更大程度上是我们生活中的必需品，并影响着人们的生活。以生活中的一个常见问题为例： 例1：1．为了防止某种新冠病毒感染，某地居民需服用一种药物预防.规定每人每天定时服用一次，每次服用m毫克.已知人的肾脏每24小时可以从体内滤除这种药物的80%，设第n次服药后（滤除之前）这种药物在人体内的含量是毫克，（即）. (1)已知，求､； (2)该药物在人体的含量超过25毫克会产生毒副作用，若人需要长期服用这种药物，求m的最大值. 【答案】(1)，； (2)20毫克 【解析】 【分析】 （1）由，计算可得． （2）由每次服药，药物在人体内的含量为本次服药量加上前次含量的可得递推关系式，变形后构造一个等比数列，求得通项公式后，由数列不等式恒成立及数列的单调性可得． (1) ，； (2) 依题意，， 所以，， 所以是等比数列，公比为， 所以，， ，， 数列是递增数列，且，所以， 即， 所以m的最大值是毫克． 举一反三： 1．顾客采用分期付款的方式购买一件5000元的商品，在购买一个月后第一次付款，且每月等额付款一次，在购买后的第12个月将货款全部付清，月利率0.5％.按复利计算，该顾客每月应付款多少元（精确到1元）？ 【答案】430 【解析】 【分析】 根据题目条件，结合等比数列的前项和公式建立方程关系可得到结论． 【详解】 设每月应付款元， 那么至最后1次付款时(即商品购买12个月后)付款金额的本利和为: （元）， 另外,5000元商品在购买后12个月后的本利和为（元）， 根据题意,，即x=（元）. 2、 银行储蓄与分期付款中的数列应用 储蓄与贷款与国计民生、社会生活发展息息相关，大到支援国家建设，小到个人家庭的财政支出管理，处处都嵌套着数列的应用。 在人们日常的生活规划中，为未来进行资金储备的零存整取的存储模式是银行储蓄中常见的一种金融计算方式。下面将以某一常见模式为例，进行数列在储蓄领域应用的解析。 （1）储蓄业务种类①活期储蓄②定期储蓄（整存整取定期储蓄、零存整取定期储蓄、整存零取定期储蓄、存本取息定期储蓄、定活两便储蓄） ③教育储蓄④个人通知存款⑤单位协定存款 （2）银行存款计息方式： ①单利 单利的计算是仅在原有本金上计算利息,对本金所产生的利息不再计算利息. 其公式为： 利息=本金×利率×存期 以符号P代表本金,n代表存期,r代表利率,S代表本金和利息和(以下简称本利和),则有 ②复利 把上期末的本利和作为下一期的本金,在计算时每一期本金的数额是不同的.复利的计算公式是 （3）零存整取模型 例1：1．复利是指一笔资金产生利息外，在下一个计息周期内，以前各计息周期内产生的利息也计算利息的计息方法，单利是指一笔资金只有本金计取利息，而以前各计息周期内产生的利息在下一个计息周期内不计算利息的计息方法.小闯同学一月初在某网贷平台贷款10000元，约定月利率为1.5%，按复利计算，从一月开始每月月底等额本息还款，共还款12次，直到十二月月底还清贷款，把还款总额记为x元.如果前十一个月因故不还贷款，到十二月月底一次还清，则每月按照贷款金额的1.525%，并且按照单利计算利息，这样的还款总额记为y元.则y-x的值为（ ）(参考数据：1.01512≈1.2) A．0 B．1200 C．1030 D．900 【答案】C 【解析】 【分析】 设小闯同学每个月还款元，则可依次求每次还款元后，还欠本金及利息，由题意可得，求出，从而可求出的值，再利用单利求出，进而可求出的值 【详解】 解：由题意知，按复利计算，设小闯同学每个月还款元，则小闯同学第一次还款元后，还欠本金及利息为元， 第二次还款元后，还欠本金及利息为， 第三次还款元后，还欠本金及利息为， 依次类推，直到第十二次还款后，全部还清，即 ， 即，解得， 故元， 按照单利算利息，12月后，所结利息共元， 故元， 所以， 故选：C 2.银行有一种叫作零存整取的储蓄业务,即每月定时存入一笔相同数目的现金,这是零存;到约定日期,可以取出全部本利和,这是整取.规定每次存入的钱不计复利(暂不考虑利息税). (1)若每月存入金额为x元,月利率r保持不变,存期为n个月,试推导出到期整取是本利和的公式; (2)若每月初存入500元,月利率为0.3%,到第36个月末整取时的本利和是多少? (3)若每月初存入一定金额,月利率为0.3%,希望到第12个月末整取时取得本利和2000元.那么每月初应存入的金额是多少? 分析：零存整取储蓄业务规定每次存入的钱不计复利，即按单利即息： 利息=本金×利率×存期 解：（1）根据题意,第一个月存入的x元,到期利息为x•r•n元; 第二个月存入的x元,到期利息为x•r