1.5数学归纳法（讲义+典型例题+小练）-2021-2022学年高二数学北师大版（2019）选择性必修第二册

1.5数学归纳法（讲义+典型例题+小练） 数学归纳法 一般地,当要证明一个命题对于不小于某正整数N的所有正整数n都成立时,可以用以下两个步骤: (1)证明当n=n0时命题成立; (2)假设当n=k（）时命题成立,证明n=k+1时命题也成立. 在完成了这两个步骤后,就可以断定命题对于不小于n0的所有正整数都成立.这种证明方法称为数学归纳法. 一、恒等式问题 例1：1．用数学归纳法证明. 【答案】详见解析 【解析】 【分析】 由n=1时，等式成立，假设n=k时，等式成立，再证得时，等式成立即可. 【详解】 证明：（1）当n=1时，左边=1-x，右边=1-x=左边，等式成立； （2）假设n=k时，等式成立，即， 当时，， ， ， ， 故当时，等式成立， 由（1）（2）可知，原等式对于任意成立. 2．已知数列满足，且. (1)求，，； (2)由（1）猜想的通项公式； (3)用数学归纳法证明（2）的结果. 【答案】(1)，， (2) (3)证明见解析． 【解析】 【分析】 （1）由递推公式依次计算求解； （2）由（1）的结论猜想通项公式； （3）用数学归纳法证明． (1) ，则，， ，， ，； (2) 由（1）猜想； (3) 证明：（i），命题成立， （ii）假设时命题成立，即， 则时，由，解得，命题成立， 综上，时，命题成立，即． 举一反三 1．如图，、、、是曲线上的个点，点在轴的正半轴上，且是正三角形（是坐标原点）． （1）写出、、； （2）猜想点的横坐标关于的表达式，并用数学归纳法证明． 【答案】（1），，；（2）猜想：，证明见解析． 【解析】 【分析】 （1）推导出，结合的值，可求得、、的值； （2）结合、、的值可猜想得出，然后利用数学归纳法结合可证得猜想成立. 【详解】 （1）设，则依题意，可得，， 代入，得， 即， 所以，，． （2）由（1）可猜想：． 下面用数学归纳法证明： （ⅰ）当时，猜想显然成立； （ⅱ）假设当时猜想成立，即有， 则当时，由得， 即， 解得（不符合题意，舍去）， 即当时，猜想成立． 由（ⅰ）（ⅱ）知猜想成立，即． 2． 不等式问题 例2：1．用数学归纳法证明1+++…+≤+n(n∈N*). 【答案】证明见解析 【解析】 【分析】 按数学归纳法证明命题的步骤直接证明即可. 【详解】 (1)当n＝1时，左边右边， 即当n＝1时，原不等式成立， (2)假设当n=k(k∈N*)时，原不等式成立， 即1+++…+≤+ k， 则当n=k+1时， 1+++…++++…+<+k+=+(k+1)， 即当n=k+1时，不等式成立， 综合(1)和(2)得，原不等式对所有的n∈N*都成立. 2．已知等差数列的前n项和为，等比数列的前n项和为，且，，． (1)求，； (2)己知，，试比较，的大小． 【答案】(1)，； (2). 【解析】 【分析】 (1)设等差数列的公差，等比数列的公比，由已知列式计算得解. (2)由(1)的结论，用等比数列前n项和公式求出，用裂项相消法求出，再比较大小作答. (1) 设等差数列的公差为，等比数列的公比为，依题意，， 整理得：，解得， 所以，. (2) 由(1)知，，数列是首项为，公比为的等比数列，则， ， ，则， 用数学归纳法证明，， ①当时，左边，右边，左边>右边，即原不等式成立， ②假设当时，不等式成立，即， 则，即时，原不等式成立， 综合①②知，，成立， 因此，，即， 所以. 举一反三 1．已知数列满足． (1)求； (2)若，且数列的前n项和为，求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【解析】 【分析】 （1）先求得，猜想，然后利用数学归纳法进行证明. （2）利用放缩法证得结论成立. (1) 依题意，， ， ， 猜想，下面用数学归纳法进行证明： 当时，结论成立， 假设当时结论成立，即， 由， ， 所以当时，有，结论成立， 所以当时，. (2) 由（1）得，且为单调递增数列， 所以 . 所以 . 2．已知函数的最大值不大于，且当时，． （1）求的值； （2）设，，，证明． 【答案】（1）；（2）证明见解析． 【解析】 【分析】 （1）利用二次函数的性质，可得，解得，转化当时，为，结合的范围可得，求解即可. （2）利用数学归纳法，按照步骤证明即可. 【详解】 （1）由题意，知， 又，所以， 所以，即． 又函数图象的对称轴为，且， 所以当时，， 所以，解得， 所以． （2）用数学归纳法证明： ①当时，，显然原不等式成立． 因为当时，， 所以． 故当时，原不等式也成立． ②假设当（，）时，不等式成立． 由（1）知，其图象的对称轴为直线， 所以当时，为增函数． 所以由，得． 于是，， 所以当时，原不等式也成立． 根据①②，知对任何，不等式成立． 巩固提升 一、单选题 1．用数学归纳法