专题2.6 解三角形中的最值与范围问题-2021-2022学年高一数学特色专题卷（北师大版2019必修第二册）

专题2.6 解三角形中的最值与范围问题（特色专题卷） 考试时间：120分钟；满分：150分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共22题，单选8题，多选4题，填空4题，解答6题，合计150分，限时150分钟，试卷紧扣教材，细分题组，精选一年好题，两年真题，练基础，提能力！ 一．选择题（共8小题，每小题5分，共40分） 1．（2021秋•诸暨市校级期中）已知△ABC的面积等于1，且BC＝1，则△ABC的外接圆的半径R的最小值为（　　） A． B． C． D． 【分析】根据余弦定理、三角形面积公式，结合二倍角公式、基本不等式、对钩函数的单调性可以求出BC对的角的正弦值的取值范围，最后利用正弦定理进行求解即可． 【解答】解：设△ABC三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，所以a＝1， 由余弦定理可知：a2＝b2+c2﹣2bccosA＝1， 而b2+c2≥2bc（当且仅当b＝c时取等号），所以有1+2bccosA≥2bc，（1）， 又因为△ABC的面积等于1，所以有bcsinA＝1，（2）， 因此由（1）（2）得到：，可得，可得，可得tan， 因为A∈（0，π），所以∈（0，），因此0＜tan， 由正弦定理可知：，可得R••（tan）， 令x＝tan，0＜x， 因为函数f（x）＝x在（0，1）上单调递减，所以当x∈（0，]时，也单调递减， 故函数f（x）＝x的最小值为：f（）， 所以R的最小值为． 故选：B． 2．（2021秋•顺庆区校级期中）在△ABC中，BC＝2AB＝2，则∠C的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【分析】由三角形三边关系可得1＜b＜3，再由余弦定理及基本不等式可求解cosC，从而可得C的取值范围． 【解答】解：因为BC＝2AB＝2， 所以c＝AB＝1，a＝BC＝2，b＝AC， 根据两边之和大于第三边，两边之差小于第三边可知1＜b＜3， 根据余弦定理cosC（b）2， 当且仅当b，即b时等号成立， 所以0＜C． 故选：A． 3．（2021秋•香坊区校级期中）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知a＝2，A＝30°，则△ABC的面积最大值为（　　） A．2 B．3+2 C．4+2 D．2+2 【分析】根据余弦定理，基本不等式进行转化求解即可． 【解答】解：∵a＝2，A＝30°， ∴由余弦定理得a2＝b2+c2﹣2bccos30°， 即4＝b2+c2bc≥2bcbc＝（2）bc， 则bc，当且仅当b＝c时取等号， 则△ABC的面积SbcsinA2， 即△ABC的面积最大值为2， 故选：A． 4．（2021秋•凌河区校级月考）在锐角△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知acosC﹣ccosA＝c，则sinA的取值范围是（　　） A．（0，2] B． C． D． 【分析】由正弦定理，两角差的正弦公式可得sin（A﹣C）＝sinC，结合已知可求范围A﹣C，可求A＝2C，由△ABC为锐角三角形，可得范围C，利用两角和的正弦公式可求sinAcos2C＝2sin（2C），进而根据正弦函数的性质即可求解sinA的取值范围． 【解答】解：因为acosC﹣ccosA＝c， 由正弦定理可得sinAcosC﹣sinCcosA＝sinC，即sin（A﹣C）＝sinC， 因为0＜A，0＜C， 可得A﹣C， 所以A﹣C＝C，即A＝2C， 因为△ABC为锐角三角形， 可得，解得C， 所以sinAcos2C＝sin2Ccos2C＝2sin（2C）， 因为C，可得2C，可得sin（2C）， 所以1＜2sin（2C），即sinA的取值范围是（1，）． 故选：B． 5．（2021春•启东市期中）某海域有A，B，C三座小岛，经测量，B岛在A岛的正东方向，且距离A岛10海里处，C岛在A岛的北偏西30°方向，且距离A岛20海里处，则B，C两座小岛间的距离为（　　） A．10海里 B．10海里 C．10海里 D．10海里 【分析】由题意利用余弦定理即可求得两小岛之间的距离． 【解答】解：由题意可知：AC＝20，AB＝10，∠BAC＝120°， 由余弦定理可知： ， 故选：D． 6．（2021春•湖南期中）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知asinBcosC+csinBcosAb，b，a＞b，则2a+c的最大值为（　　） A．2 B．3 C．2 D．3 【分析】由正弦定理整理条件可求得B，再由正弦定理可将2a+c转化为2sin（A+φ），其中tanφ，由正弦函数的性质即可求得2a+c的取值范围． 【解答】解：因为asinBcosC+csinBcosAb，即sinAsinBcosC+sinCsinBcosAsinB， 所以sinA