8.1 条件概率-【固本培优系列】2021-2022学年高二数学下学期同步精品培优讲义(苏教版2019选择性必修第二册)

第八章 概率 8.1条件概率 【必备知识】 知识点1:条件概率及其性质 1.条件概率的定义 对于任何两个事件和,在已知事件发生的条件下,事件发生的概率叫做条件概率,用符号 来表示,其公式为. 2.条件概率的性质 设为样本空间,则 (1); (2)如果和是两个互反事件,则; (3)设和互为对立事件,则. 【典例1】下面几种概率是条件概率的是( ) A.甲､乙二人投篮命中率分别为0.6,0.7,各投篮一次都投中的概率 B.甲､乙二人投篮命中率分别为0.6,0.7,在甲投中的条件下乙投篮一次命中的概率 C.有10件产品,其中3件次品,抽2件产品进行检验,恰好抽到一件次品的概率 D.小明上学路上要过四个路口,每个路口遇到红灯的概率都是,小明在一次上学途中遇到红灯的概率 【答案】B 【解析】 【分析】 根据条件概率的定义,结合各选项的描述判断是否条件概率即可. 【详解】 由条件概率的定义:某一事件已发生的情况下,另一事件发生的概率. A:甲乙各投篮一次投中的概率,不是条件概率; B:甲投中的条件下乙投篮一次命中的概率,是条件概率; C:抽2件产品恰好抽到一件次品,不是条件概率; D:一次上学途中遇到红灯的概率,不是条件概率.. 故选:B 【典例2】分别在下列各条件下,求: (1); (2). 【答案】(1) (2) 【解析】 (1)解:因为, 所以, 所以; (2)解:因为, 所以, 所以. 知识点2:概率的运算 1.概率加法公式 如果事件与事件互斥,则. 探究概率加法公式的推广 (1)当一个事件包含多个结果时,要用到概率加法公式的推广, 即 . (2) 注意涉及的各事件要彼此互斥. 2.概率乘法公式 由条件概率的定义,对任意两个事件与,若,则. 特点: (1)知二求一:若,则已知中的两个值就可以求得第三个值;若, 则已知中的两个值就可以求得第三个值. (2)与的区别在于两者发生的条件不同,它们是两个不同的概念,在数值上一般也不同. 【典例3】某人从15米高的楼层把一个成熟的椰子扔向地面,第一次未摔裂的概率为0.4,当第一次未摔裂时第二次也未摔裂的概率为0.3,则这个椰子从15米高的楼层扔向地面两次后仍未摔裂的概率是_. 【答案】0.12 【解析】 设表示第次扔向地面椰子没有摔裂,,2,则,, 因此,. 故这个椰子从15米高的楼层扔向地面两次后仍未摔裂的概率为0.12. 故答案为:0.12. 【典例4】已知随机事件,有概率,,条件概率,则_. 【答案】0.82 【解析】 ∵,∴,. 由乘法公式得. ∴. 故答案为:0.82. 知识点3:全概率公式 1.定义 一般地,设是一组两两互斥的事件,,且, 则对任意的事件,有.我们称此公式为全概率公式. 2.意义 全概率公式的意义在于,当直接计算事件发生的概率较为困难时,可以先找到样本空间 的一个划分两两互斥,将看成是导致发生的一组原因,这样事件就被分解成了个部分,分别计算,再利用全概率公式求解. 运用全概率公式计算事件发生的概率时,一般步骤如下: (1) 求划分后的每个小事件的概率,即; (2) 求每个小事件发生的条件下,事件发生的概率,即, ,; (3) 利用全概率公式计算,即. 【典例5】在数字通信中,信号是由数字0和1组成的序列由于随机因素的干扰,发送的信号0或1有可能被错误地接收为1或0.已知当发送信号0时,被接收为0和1的概率分别为0.93和0.07;当发送信号1时,被接收为1和0的概率分别为0.95和0.05.假设发送信号0和1是等可能的,则接收的信号为1的概率为( ) A.0.48 B.0.49 C.0.52 D.0.51 【答案】D 【详解】 设“发送的信号为0”,“接收的信号为1”, 则, 因此. 故选:D 【典例6】 已知某超市的玻璃杯成箱出售,每箱20只,假设各箱含0,1,2只残次品的概率分别是0.8,0.1,0.1,某顾客欲购一箱玻璃杯,在购买时,售货员随机取出一箱,顾客开箱随机查看 4只,若无残次品,则买下该箱玻璃杯,否则退回,试求顾客买下该箱玻璃杯的概率. 解析:记事件为顾客买下该箱玻璃杯,事件为取出的一箱中有只残次品,. 则, 由全概率公式可得,. 0.94.即顾客买下该箱玻璃杯的概率约为0.94. 【过关检测】 一、单选题 1.已知事件A,B相互独立,,则( ) A.0.24 B.0.8 C.0.3 D.0.16 【答案】B 【详解】 因为事件A,B相互独立,所以,所以 故选:B 2.夏季里,每天甲、乙两地下雨的概率分别为和,且两地同时下雨的概率为,则夏季的一天里,在乙地下雨的条件下,甲地也下雨的概率为( ) A. B. C. D. 【答案】C 【详解】 记事件A为甲地下雨,事件B为乙地下雨, 在乙地下雨的条件下,甲地也下雨的概率为. 故选:C 3.设,,则(