小专题(五～六)及章末复习 与正方形有关的几个常考模型 特殊平行四边形中的折叠与最值问题-2021-2022学年八年级下册数学【名校课堂】同步练习（人教版）

___液师造更多名校都在用 小专题(五）与正方形有关的几个常考模型 模型1正方形中相交垂线段问题——教材P68复习模型2ⅳ正方形中过对角线交点的直角问题 题T8的变式与应用2.如图，正方形ABCD的对角线AC和BD相交于点 1.如图，ABCD是一个正方形花园，E，F是它的两个，0又是正方形A_1B_1C_1O的一个顶点，OA_1交AB 门，且DE=CF。要修建两条路BE和AF，这两条路于点E，OC1交BC于点F． 等长吗?它们有什么位置关系?为什么?（1)求证：△AOE≌△BOF． —左p（2)如果两个正方形的边长都为a，那么这两个正方 形重叠部分的面积等于多少?为什么? 【探究】若去掉“DE=CF”这一条件，将两个结论中 的一个作为条件能推出另一个结论成立吗? （1)若已知BE=AF，则BE⊥AF成立吗? （2)若已知BE⊥AF，则BE=AF成立吗? 【变式1】如图，正方形ABCD的边长为4，点O在 对角线DB上运动(不与点B，D重合)，连接OA，作 OP⊥OA，交直线BC于点P。判断线段OA，OP的数 量关系，并说明理由。 噪型归纳- 正方形内，分别连接两组对边上任意两点，得B=P—C ⋮到的两条线段(如：图1中的线段AF与BE，图2 ⋮中的线段AF与EG，图3中的线段HF与EG)满 ⋮足：若垂直，则相等． FO2 ：B图1一CB-GCB～6【变式2】如图，将n个边长都为2的正方形按如图 +++++__+++++-_所示摆放，点A_1，A_2…，A_n分别是正方形的中心， 则这n个正方形重叠部分的面积之和是 【变式训练】如图，已知正方形DA.n ABCD的边长为5，点E，F分别在F│B.n-1 AD，DC上，AE=DF=2，BE与AF C.4(n-1) 相交于点G，点H为BF的中点，连H D.4n Ai∙A.\ 接GH，则GH的长为___—__∠ 数学(RJ) 名校课堂·数学·八年级下 馍型日纳 ++十+++++++十+…+++ 模型日纳 如+“++n+…+”+…+…+…++++…+…++… 正方形ABCD中，O为两条对角线的交点，点 如图，已知正方形ABCD,过B,D两点分别 E,F分别在AB,BC上.若∠EOF为直角，OE 向过点C的直线作垂线，垂足分别为E,F,则 OF分别与DA,AB的延长线交于点G,H,则 △BCE≌△CDF △AOE≌△BOF,△AOG≌△BOH,△OGH是等 腰直角三角形，且S四边形OBF= S正方形ABD 模型4正方形中的半角模型 5.如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD 延长线上一点，且DF=BE. (1)求证：CE=CF. 模型3正方形中三垂直全等模型— 教材P69复习 (2)若点G在AD上，且∠GCE=45°，则GE=BE+ 题T14的变式与应用 GD成立吗？为什么？ 3.如图，过正方形ABCD的顶点B作直线l,过A,C作 直线l的垂线，垂足分别为E,F.若AE=1,CF=2, 则AB的长为 A.2 B.2 C.3 D.v5 4.如图，四边形ABCD是正方形，E是边BC的中点， ∠AEF=90°，且EF交正方形外角的平分线CF于 点F.求证：AE=EF 候型日纳 (1)如图，在正方形ABCD中，若∠EAF=45°，则： 【探究1】变特殊为一般 ①EF=BE十DF;②△CEF的周长为正方形 若题中“E是边BC的中点”变为“E是BC边上任意一 ABCD边长的2倍；③FA平分∠DFE,EA平 点”，则上述结论是否仍然成立？ (填“是” 分∠BEF, 或“否”) 【探究2】在探究1的前提下，若题中结论“AE= EF”与条件“CF是正方形外角的平分线”互换，则命 题是否还成立？请给出证明. (2)如图，在正方形ABCD中，若∠EAF=45°，FA 平分∠DFE,则EF=DF-BE. (辅助线添法1) (辅助线湖法2) 56 数学(RJ) 名校名师打造，更多名校都在用 小专题（六）特殊平行四边形中的折叠与最值问题 类型1折叠问题 >变式训练 【例】如图1，对折矩形纸片ABCD,使AD与BC 1.(2021·遂宁)如图，在矩形ABCD中，AB=5,AD= 重合，得到折痕EF,把纸片展平；再次折叠纸片，使点 3,点E为BC上一点，把△CDE沿DE翻折，点C恰 A落在EF上，并使折痕经过点B,得到折痕BM,同时 好落在AB边上的点F处，则CE的长是( 得到线段BN,MN.请你观察图1，猜想∠MBN的度 A.1 数是多少，并证明你的结论 4 b.3 D. 图1 2.如图，将边长为6cm的正方形纸片ABCD折叠，使 点D落在AB边的中点E处，点C落在点Q处，折 痕为FH,则线段AF的长是 cm. B 【拓展延伸】再沿MN所在的直线折叠，点B落 在AD上的点B'处，得到折痕MG,同时得到线段B