第六章 平面向量及其应用知识总结

第六章 平面向量及其应用 知识点一:向量的有关概念 1.向量: 既有大小又有方向的量叫做向量.向量的大小叫向量的模(也就是用来表示向量的有向线段的长度). 2.向量的表示方法: (1)字母表示法:如等. (2)几何表示法:用一条有向线段表示向量.如,等. (3)坐标表示法:在平面直角坐标系中,设向量的起点为在坐标原点,终点A坐标为,则称为的坐标,记为=. 3.相等向量: 长度相等且方向相同的向量.向量可以自由平移,平移前后的向量相等.两向量与相等,记为. 4.零向量: 长度为零的向量叫零向量.零向量只有一个,其方向是任意的. 5.单位向量: 长度等于1个单位的向量.单位向量有无数个,每一个方向都有一个单位向量. 6.共线向量: 方向相同或相反的非零向量,叫共线向量.任一组共线向量都可以移到同一直线上.规定:与任一向量共线. 注:共线向量又称为平行向量. 7.相反向量: 长度相等且方向相反的向量. 知识点二、向量的运算 1.运算定义 运 算 图形语言 符号语言 坐标语言 加法与减法 += = 记=(x1,y1),=(x2,y2) 则=(x1+x2,y1+y2) =(x2-x1,y2-y1) += 实数与向量的乘积 记=(x,y) 则 两个向量的数量积 记 则=x1x2+y1y2 2.运算律 加法: ①(交换律); ②(结合律) 实数与向量的乘积: ①; ②;③ 两个向量的数量积: ①·=·; ②()·=·()=(·);③(+)·=·+· 3.运算性质及重要结论 (1)平面向量基本定理:如果是同一平面内两个不共线的向量,那么对于这个平面内任一向量,有且只有一对实数,使,称为的线性组合. ①其中叫做表示这一平面内所有向量的基底; ②平面内任一向量都可以沿两个不共线向量的方向分解为两个向量的和,并且这种分解是唯一的. ③当基底是两个互相垂直的单位向量时,就建立了平面直角坐标系,因此平面向量基本定理实际上是平面向量坐标表示的基础. 向量坐标与点坐标的关系:当向量起点在原点时,定义向量坐标为终点坐标, 即若A(x,y),则=(x,y);当向量起点不在原点时,向量坐标为终点坐标减去起点坐标,即若A(x1,y1),B(x2,y2),则=(x2-x1,y2-y1) (2)两个向量平行的充要条件 符号语言: 坐标语言为:设非零向量,则∥(x1,y1)=(x2,y2),或x1y2-x2y1=0. (3)两个向量垂直的充要条件 符号语言: 坐标语言:设非零向量,则 (4)两个向量数量积的重要性质: ① 即 (求线段的长度); ②(垂直的判断); ③ (求角度). 要点诠释: 1. 向量的线性运算 (1)在正确掌握向量加法减法运算法则的基础上能结合图形进行向量的计算,将数和形有机结合,并能利用向量运算完成简单的几何证明; (2)向量的加法表示两个向量可以合成,利用它可以解决有关平面几何中的问题,减法的三角形法则应记住:连接两端(两向量的终点),指向被减(箭头指向被减数).记清法则是灵活运用的前提. 2. 共线向量与三点共线问题 向量共线的充要条件实质上是由实数与向量的积得到的.通常用来判断三点在同一条直线上或两直线平行.该定理主要用于证明点共线、求系数、证直线平行等题型问题. (1)用向量证明几何问题的一般思路: 先选择一组基底,并运用平面向量基本定理将条件和结论表示成向量的形式,再通过向 量的运算来证明. (2)向量在几何中的应用: ①证明线段平行问题,包括相似问题,常用向量平行(共线)的充要条件 (x1,y1)=(x2,y2) ②证明垂直问题,常用垂直的充要条件 ③求夹角问题,利用 ④求线段的长度,可以利用或 知识点三:向量的应用 1:正弦定理 在一个三角形中,各边和它所对角的正弦比相等,即: 要点诠释: (1)正弦定理适合于任何三角形,且(为的外接圆半径); (2)应用正弦定理解决的题型:①已知两角和一边,求其它②已知两边和一边的对角,求其它. (3)在已知两边和一边的对角,求其它的类型中,可能出现无解、一解或两解,应结合“三角形中大边对大角”定理及几何作图来帮助理解. 2:余弦定理 在△ABC中, ,, 变形为: ,, 要点诠释: (1)应用余弦定理解决的题型:①已知三边,求各角②已知两边和一边的对角,求其它③已知两边和夹角,求其它; (2)正、余弦定理的实质是一样的,从而正弦定理能解的问题余弦定理也一定能解,反之亦然;只是方便程度有别; (3)正、余弦定理可以结合使用. 3:三角形的面积公式 (1) ,其中为边上的高 (2) (3),其中 4:三角形形状的判定方法 设△ABC的三边为a、b、c,对应的三个角为A、B、C, 解斜三角形的主要依据是: (1)角与角关系:由于A+B+C = π,所以sin(A+B)=sinC;cos(A+B)=-