1.1数列 讲义-2021-2022学年高二数学北师大版（2019）选择性必修第二册

1.1数列（讲义+典型例题+小练） 一、数列的概念 1．数列的定义 按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项． 数列中的每个数都叫这个数列的项。记作，在数列第一个位置的项叫第1项（或首项），在第二个位置的叫第2项，……，序号为 的项叫第项（也叫通项）记作； 数列的一般形式：，，，……，，……，简记作 。 2．数列的分类 分类原则 类型 满足条件 按项数分类 有穷数列 项数有限 无穷数列 项数无限 按项与项间 的大小关系 分类 递增数列 an＋1＞an 其中 n∈N* 递减数列 an＋1＜an 常数列 an＋1＝an 按其他 标准分类 有界数列 存在正数M，使|an|≤M 摆动数列 从第二项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列 3.数列的表示法 数列有三种表示法，它们分别是列表法、图象法和解析法． 4．数列的通项公式 如果数列{an}的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式． 5． 已知数列{an}的前n项和Sn，则an＝ 例1：1．已知数列满足，且对任意，都有，那么为（ ） A． B． C． D．10 【答案】A 【分析】 依次计算出的值. 【详解】 化简可得，则，，. 故选：A 2．已知数列{an}，an-1=man+1(n>1)，且a2=3，a3=5，则实数m等于（ ） A．0 B． C．2 D．5 【答案】B 【分析】 直接由a2=3，a3=5代入求解即可. 【详解】 由题意，得a2=ma3+1，即3=5m+1，解得m=. 故选：B. 3．数列的通项公式为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 根据分子和分母的数学特征进行判断即可. 【详解】 原数列可变形为， 所以， 故选：C 4．已知数列的前项和为，若则（ ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】 利用数列的递推关系式求解首项，然后求解即可． 【详解】 解：数列的前项和为，若， 当时，，解得， 时，，解得 故选：B． 举一反三 1．已知数列{an}，a1=1，an+1=an+，则该数列的第3项等于（ ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】 根据递推关系先求出，即可求出. 【详解】 ， . 故选：C. 2．已知数列则7是这个数列的（ ） A．第22项 B．第23项 C．第24项 D．第25项 【答案】C 【分析】 先确定该数列第项的表达式，由该表达式等于，解出项数的值. 【详解】 由题知，该数列的第为. 由，解得， 所以是该数列的第项. 故选：C. 3．(多选)下列关于数列的说法正确的是（ ） A．按一定次序排列的一列数叫作数列 B．若{an}表示数列，则an表示数列的第n项，an=f(n)表示数列的通项公式 C．同一个数列的通项公式的形式不一定唯一 D．同一个数列的任意两项均不可能相同 【答案】ABC 【分析】 根据数列的定义，可判断A、B、C的正误，常数数列各项可相等，可得D错误，即可得答案. 【详解】 根据数列的定义，我们把按定次序排列的一列数叫作数列，可得A正确； 若{an}表示数列，则an表示数列的第n项，an=f(n)表示数列的通项公式，可得B正确； 同一个数列的通项公式的形式不一定唯一， 例如，也可写成，可得C正确； 因为一个数列的每一项的值是可以相同的，比如说常数数列，可得D错误， 故选：ABC 4．一百零八塔是中国现存的大型古塔群之一，位于银川市南60公里的青铜峡水库西岸崖壁下，佛塔依山势自上而下，按1、3、3、5、5、7、9、11、13、15、17、19的奇数排列成十二行，塔体分为4种类型：第1层塔身覆钵式，2~4层为八角鼓腹锥顶状，5~6层呈葫芦状，7~12层呈宝瓶状，现将一百零八塔按从上到下，从左到右的顺序依次编号1，2，3，4，…，108．则编号为26的佛塔所在层数和塔体形状分别为（ ） 一百零八塔全景 A．第5行，呈葫芦状 B．第6行，呈葫芦状 C．第7行，呈宝瓶状 D．第8行，呈宝瓶状 【答案】C 【分析】 根据题意算出佛塔依山势自上而下前6行的总数，然后确定编号为26的佛塔所在层数和塔体形状即可. 【详解】 因为，故编号为26的佛塔在第7行，呈宝瓶状． 故选：C 5．（1）已知数列{an}满足a1＝－1，an＋1＝an＋，n∈N*，求通项公式an； （2）设数列{an}中，a1＝1，an＝an－1(n≥2)，求通项公式an. 【答案】（1）an＝－ (n∈N*)；（2）an＝ (n∈N*)． 【分析】 （1）由已知条件可得an＋1－an＝，然后利用累加法可求出通项公式an. （2）由an＝an－1，可