2022年中考复习专题线段和差最值问题之对称

中考复习专题之线段(和差)最值问题之对称 对称问题，指的是通过对称的方式求得线段(和差)最值的问题类型，包含一次对称即将军饮马问题、二次对称、过河修桥问题等. 1.将军饮马问题 “白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，这是唐代诗人李颀《古从军行》里的一句诗。而由此却引申出一系列非常有趣的数学问题，通常称为“将军饮马”。 如图，将军在图中点A处，现在他要带马去河边喝水，之后返回军营，问：将军怎么走能使得路程最短？ 如图，在直线上找一点P使得PA+PB最小？ 这个问题的难点在于PA+PB是一段折线段，通过观察图形很难得出结果，关于最小值，我们知道“两点之间，线段最短”、“点到直线的连线中，垂线段最短”等，所以此处，需转化问题，将折线段变为直线段． 作点A关于直线的对称点A'，连接PA'，则PA'=PA，所以PA+PB=PA'+PB 当A'、P、B三点共线的时候，PA'+PB=A'B，此时为最小值（两点之间线段最短） 作端点（点A或点B）关于折点（上图P点）所在直线的对称，化折线段为直线段． 2.二次对称问题 在OA、OB上分别取点M、N，使得△PMN周长最小． 此处M、N均为折点，分别作点P关于OA（折点M所在直线）、OB（折点N所在直线）的对称点，化折线段PM+MN+NP为P'M+MN+NP’’，当P'、M、N、P''共线时，△PMN周长最小． 3.过河修桥问题 已知人在图中点A村庄，现要过河去往B村，桥必须垂直于河岸建造，问：桥建在何处能使路程最短？ 考虑MN长度恒定，只要求AM+NB最小值即可．问题在于AM、NB彼此分离，所以首先通过平移，使AM与NB连在一起，将AM向下平移使得M、N重合，此时A点落在A’位置． 问题化为求A'N+NB最小值，显然，当A'、N、B共线时，AM+MN+BN的值最小，并得出桥应建的位置． 【问题扩展1】 已知将军在图中点A处，现要过两条河去往B点的军营，桥必须垂直于河岸建造，问：桥建在何处能使路程最短？ 考虑PQ、MN均为定值，所以路程最短等价于AP+QM+NB最小，对于这彼此分离的三段，可以通过平移使其连接到一起． AP平移至A'Q，NB平移至MB’，化AP+QM+NB为A'Q+QM+MB'． 当A'、Q、M、B’共线时，A'Q+QM+MB'取到最小值，再依次确定P、N位置． 【问题扩展1】 如图，将军在A点处，现在将军要带马去河边喝水