专题2.4 平面向量与三角形的四心问题-2021-2022学年高一数学特色专题卷（北师大版2019必修第二册）

专题2.4 平面向量与三角形的四心问题（特色专题卷） 考试时间：120分钟；满分：150分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共22题，单选12题，填空10题，限时150分钟，试卷紧扣教材，细分题组，精选一年好题，两年真题，练基础，提能力！ 一．选择题（共12小题） 1．（2021春•天津期中）在△ABC中，非零向量，，满足，则点O是△ABC的（　　） A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心 【分析】根据题意，设BC的中点为D，由向量加法的性质可得2，则有O在BC的中线AD上，同理可得O在AC和AB的中线上，即可得答案． 【解答】解：根据题意，设BC的中点为D，则2， 若，则有2，则O在BC的中线AD上， 同理：O在AC和AB的中线上， 故O是△ABC的重心； 故选：C． 2．（2017•山东模拟）△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，G是平面△ABC上一点，且满足a•b•c•，则G是△ABC中的（　　） A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心 【分析】用表示出，结合图形即可得出G在∠BAC的角平分线上． 【解答】解：∵a•b•c•， ∴ab（）+c（）， ∴（a+b+c）bc， 即， ∴G在∠BAC的角平分线上， 同理可得：G在∠ABC的角平分线上， ∴G是△ABC的内心． 故选：A． 3．（2018春•城关区校级期末）已知△ABC，平面内一动点P满足λ（），则动点P过△ABC的（　　） A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心 【分析】确定的方向与∠BAC的角平分线一致，从而可得的方向与∠BAC的角平分线一致，即可得到结论． 【解答】解：∵，分别表示，方向上的单位向量， ∴的方向与∠BAC的角平分线一致． ∵λ（），∴λ（）， ∴的方向与∠BAC的角平分线一致 ∴一定通过△ABC的内心 故选：A． 4．（2020•青秀区校级模拟）已知O是三角形ABC所在平面内一定点，动点P满足λ（），λ∈R．则P点的轨迹一定通过三角形ABC的（　　） A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心 【分析】通过向量的数量积，结合向量和的几何意义，判断P的轨迹经过的三角形的重心． 【解答】解：由正弦定理可知：，R为三角形的外接圆的半径， 所以动点P满足λ（）2λR（）．因为是以AB，AC为邻边的平行四边形的对角线A为起点的向量，经过BC的中点， 所以P点的轨迹一定通过三角形ABC的重心． 故选：C． 5．（2018春•龙岩期中）设O是平面ABC内一定点，P为平面ABC内一动点，若，则O为△ABC的（　　） A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心 【分析】运用向量的加减运算，以及向量数量积的性质，结合三角形的外心，可得所求． 【解答】解：若， 可得•（）•（）•（）＝0， 即为（）•（）＝（）•（）＝（）•（）＝0， 即有||2＝||2＝||2， 则||＝||＝||， 故O为△ABC的外心， 故选：B． 6．（2017•铁东区校级四模）点P为△ABC所在平面内一点，当取最小值时，点P为△ABC的（　　） A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心 【分析】[•（）•（）]，以PA，PC为邻边做平行四边形PACD，则B，P，D三点共线时，取得最小值，同理可得•（）和取得最小值时的条件，从而确定P的位置． 【解答】解：[•（）•（）]， 以PA，PC为邻边做平行四边形PACD，设PD交AC于M， 则2， ∴当与方向相反时，取得最小值，此时P为△ABC的中线BM上， 同理：当P为△ABC的边BC上的中线上时，•（）取得最小值， 当P为△ABC的边AB上的中线上时，取得最小值， ∴当P为△ABC的三条中线的交点即重心时，取最小值． 故选：C． 7．（2015春•恩施州期末）O是平面上一点，A，B，C是该平面上不共线的三个点，一动点P满足，λ∈（0，+∞），则直线AP一定通过△ABC的（　　） A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心 【分析】设出BC的中点D，由题意可得2λ，进而可得2λ，可得A、P、D三点共线，进而可得答案． 【解答】解：设BC中点为D，则AD为△ABC中BC边上的中线， 由向量的运算法则可得， ∵， ∴2λ， ∴2λ ∴A、P、D三点共线 所以点P一定过△ABC的重心． 故选：C． 8．（2012秋•东安区校级期末）已知△ABC，点H，O为△ABC所在平面内的点，且，，，则点O为△ABC的（　　） A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心 【分析】将已知向量等式变形，利用向量的运算法则化简，得到O点到三角形三个顶点的距离，判断出O为垂心，即可求得结论． 【解答】解：∵，∴（ ）•0 即 •0 又，∴，即， ∴•（）＝0，即（）•（）＝0， ∴，∴OB＝OC 同理OA