11.2 反比例函数的图像与性质-【帮课堂】2021-2022学年八年级数学下册同步精品讲义（苏科版）

第11章 反比例函数 11.2 反比例函数的图像与性质 目标导航 课程标准 课标解读 能画出反比例函数的图像,根据图像和表达式 y =(k≠0)探究并理解k>0和k<0时,图像的变化情况。 2. 能根据解析式画出反比例函数的图象,初步掌握反比例函数的图象和性质; 3. 会用待定系数法确定反比例函数解析式,进一步理解反比例函数的图象和性质; 4. 会解决一次函数和反比例函数有关的问题。 知识精讲 知识点 反比例函数的图像与性质 1.反比例函数的图象特征: 反比例函数的图象是双曲线,它有两个分支,这两个分支分别位于第一、三象限或第二、四象限;反比例函数的图象关于原点对称,永远不会与轴、轴相交,只是无限靠近两坐标轴。 【微点拨】 (1)若点()在反比例函数的图象上,则点()也在此图象上,所以反比例函数的图象关于原点对称; (2)在反比例函数(为常数,) 中,由于,所以两个分支都无限接近但永远不能达到轴和轴。 2.画反比例函数的图象的基本步骤: (1)列表:自变量的取值应以O为中心,在0的两侧取三对(或三对以上)互为相反数的值,填写值时,只需计算右侧的函数值,相应左侧的函数值是与之对应的相反数; (2)描点:描出一侧的点后,另一侧可根据中心对称去描点; (3)连线:按照从左到右的顺序连接各点并延伸,连线时要用平滑的曲线按照自变量从小到大的顺序连接,切忌画成折线.注意双曲线的两个分支是断开的,延伸部分有逐渐靠近坐标轴的趋势,但永远不与坐标轴相交; (4)反比例函数图象的分布是由的符号决定的:当时,两支曲线分别位于第一、三象限内,当时,两支曲线分别位于第二、四象限内。 3.反比例函数的性质 (1)如图1,当时,双曲线的两个分支分别位于第一、三象限,在每个象限内,值随值的增大而减小; (2)如图2,当时,双曲线的两个分支分别位于第二、四象限,在每个象限内,值随值的增大而增大; 【微点拨】 反比例函数的增减性不是连续的,它的增减性都是在各自的象限内的增减情况,反比例函数的增减性都是由反比例系数的符号决定的;反过来,由双曲线所在的位置和函数的增减性,也可以推断出的符号。 4.反比例函数()中的比例系数的几何意义 过双曲线() 上任意一点作轴、轴的垂线,所得矩形的面积为。 过双曲线() 上任意一点作一坐标轴的垂线,连接该点和原点,所得三角形的面积为。 【微点拨】 只要函数式已经确定,不论图象上点的位置如何变化,这一点与两坐标轴的垂线和两坐标轴围成的面积始终是不变的。 【即学即练1】已知,,是反比例函数图象上的点,则( ) A. B. C. D. 【答案】B 【分析】先根据函数解析式中的比例系数k确定函数图象所在的象限,再根据各象限内点的坐标特点及函数的增减性解答. 【解析】解:∵反比例函数(k≠0)中, ∵, ∴此函数图象在一、三象限, ∵-3<-2<0, ∴点(-3,y1),(-2,y2)在第三象限, ∴y2<y1<0, ∵2>0, ∴(1,y3)点在第一象限, ∴y3>0, ∴. 故选:B. 【即学即练2】如图,点在双曲线上,点在双曲线上,点、在轴上,若四边形是矩形,则它的面积为( ) A.2 B.3 C.4 D.5 【答案】C 【分析】根据双曲线上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的矩形的面积S=|k|进行计算. 【解析】如图所示:延长交轴于,则轴, 点在双曲线上, 四边形的面积为2, 点在双曲线线上,且AB//x轴, 四边形的面积为6, 矩形的面积为6-2=4. 故选:. 能力拓展 考法01 反比例函数的图像与性质 【典例1】已知函数中,在每个象限内,y随x的增大而增大,那么它和函数y=kx(k≠0)在同一直角坐标平面内的大致图象是( ) A. B. C. D. 【答案】B 【分析】先根据反比例函数图象的性质判断出k的范围,再确定其所在象限,进而确定正比例函数图象所在象限即可解答. 【解析】解:∵函数中,在每个象限内,y随x的增大而增大, ∴k<0, ∴双曲线在第二、四象限,函数y=kx的图象经过第二、四象限, ∴B选项满足题意 故选:B. 考法02 k的几何意义 【典例2】如图,已知双曲线 经过矩形 边 的中点 且交 于 ,四边形 的面积为 2,则 A.1 B.2 C.4 D.8 【答案】B 【分析】利用反比例函数图象上点的坐标,设,则根据F点为AB的中点得到.然后根据反比例函数系数k的几何意义,结合,即可列出,解出k即可. 【解析】解:设, ∵点F为AB的中点, ∴. ∵, ∴,即, 解得:. 故选B. 分层提分 题组A 基础过关练 1.若反比例函数的图象经过点A(a,a﹣b),其中a,b为实数,则这个反比例函数的图象一定经过点( ) A.(b,a﹣b) B.(a,b﹣a) C.(a﹣b,a) D.(a﹣b,b) 【