第一章 三角函数（讲义+典型例题）-2021-2022学年高一下学期数学 北师大版（2019）必修第二册

第一章三角函数（讲义+典型例题） 一、任意角的概念与弧度制 1、将沿轴正向的射线，围绕原点旋转所形成的图形称作角. 逆时针旋转为正角，顺时针旋转为负角，不旋转为零角 2、同终边的角可表示为 轴上角： 轴上角： 3、第一象限角： 第二象限角： 第三象限角： 第四象限角： 4、区分第一象限角、锐角以及小于的角 第一象限角： 锐角： 小于的角： 5、 若为第二象限角，那么为第几象限角？ 所以在第一、三象限 例1.2．若角是第一象限角，问角（1），（2），（3）各是第几象限角？ （1）是第一或第二象限角或是终边重合于轴的非负半轴的角；（2）是第一或第三象限角；（3）是第一或第二或第三象限角. 【分析】 （1）由可得，可得答案； （2）由得，再对整数分类讨论，可得答案； （3）由得，再对分类讨论，可得答案. 【详解】 （1）∵是第一象限角， ∴（*） ∴. 故是第一或第二象限角或是终边重合于轴的非负半轴的角. （2）由（*）得. ①当为偶数时，令， 得，这表明是第一象限角. ②当为奇数时，令， 得，这表明是第三象限角. 综合①②知，是第一或第三象限角. （3）由（*）得. ①当时，，这表明是第一象限角. ②当时，，这表明是第二象限角. ③当时，，这表明是第三象限角. 综合①②③知，是第一或第二或第三象限角. 【点睛】 本题考查了由的象限求它的二倍角、半角、三分之一角的象限，考查了分类讨论思想，属于中档题. 举一反三 写出终边与x轴负半轴重合的角的集合，并求在之间的角. ；，180°，540° 【分析】 根据终边与x轴负半轴重合的角的性质，结合所给的范围进行求角即可. 【详解】 因为在范围内，终边与x轴负半轴重合的角为， 因此与角终边相同的角构成集合； 当时，有， 解得：，因此， 当时，； 当时，； 当时，， 所以终边与x轴负半轴重合的角的集合是； 在之间的角为，180°，540°. 【点睛】 本题考查了终边与x轴负半轴重合的角的性质，考查了数学运算能力，属于基础题. 2、 弧度制： 1.弧长等于半径时，所对的圆心角为弧度的圆心角，记作. 2、角度与弧度的转化： 3、角度与弧度对应表： 角度 弧度 4、弧长与面积计算公式 弧长：；面积：，注意：这里的均为弧度制. 例2①将下列角度与弧度进行互化. （1）20°；（2）－15°；（3）（4）－. 4．（1）20°＝；（2）－15°＝－；（3）＝105°；（4）－＝－396°. 【分析】 利用角度和弧度之间的转化公式，代值计算即可. 【详解】 （1）20°＝＝. （2）－15°＝－＝－. （3）＝×180°＝105°. (4)－＝－×180°＝－396°. 【点睛】 本题考查角度和弧度之间的相互转化，只需正确利用公式即可. ②若某扇形的弧长为，圆心角为，则该扇形的半径是（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】 首先设出半径，然后利用扇形弧长公式求解即可. 【详解】 设该扇形半径为， 又∵圆心角，弧长， ∴扇形弧长公式可得，，解得，. 故选：B. 举一反三 1.转化为弧度数为 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 根据，简单计算可得结果. 【详解】 由，所以 故选：D 【点睛】 本题考查弧度制的转化，掌握，属基础题. 2．一个扇形的所在的圆的半径为5，该扇形的弧长为5 （1）求该扇形的面积；             （2）求该扇形中心角的弧度数． 7．（1）；（2）1． 【分析】 （1）根据扇形面积公式直接计算；（2）根据扇形弧度数公式计算求值. 【详解】 解：（1），，； （2） 【点睛】 本题考查弧度制，扇形面积，重点考查基本公式，属于基础题型. 三、任意角的三角函数 1、正弦：；余弦；正切 其中为角终边上任意点坐标，. 例3.设角的终边经过点，那么等于（ ） A． B． C．1 D． 【答案】D 【分析】 利用任意角的三角函数的定义可求出的值，从而可求得答案 【详解】 解：因为角的终边经过点， 所以， 所以， 故选：D 举一反三 1．（多选）已知角α的终边经过点，则（ ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】 求得点的坐标，根据三角函数的定义以及同角三角函数的基本关系式确定正确选项. 【详解】 由题意可得，则， ，． . 所以ACD选项正确. 故选：ACD 2.若390°角的终边上有一点，则的值是_________. 【答案】 【分析】 由题