第二章 平面向量及其应用（讲义+典型例题）-2021-2022学年高一下学期数学 北师大版（2019）必修第二册

第二章平面向量及其应用(讲义+典型例题) 一.平面向量的有关概念 名称 定义 备注 向量 既有大小又有方向的量;向量的大小叫做向量的长度(或称模) 平面向量是自由向量 零向量 长度为0的向量;其方向是任意的 记作0 单位向量 长度等于1个单位的向量 非零向量a的单位向量为± 平行向量 方向相同或相反的非零向量 0与任一向量平行或共线 共线向量 方向相同或相反的非零向量又叫做共线向量 相等向量 长度相等且方向相同的向量 两向量只有相等或不等,不能比较大小 相反向量 长度相等且方向相反的向量 0的相反向量为0 例1:(1).如图,在矩形中,可以用同一条有向线段表示的向量是( ) A.和 B.和 C.和 D.和 答案B 【解析】 【分析】 根据相等向量的概念,得到和是相等向量,即可求解. 【详解】 对于A中,向量和的方向相反,但长度相等,所以和不是相等向量; 对于B中,向量和的方向相同且长度相等,所以和是相等向量, 对于D中,向量和的方向不同,且长度不相等,所以和不是相等向量; 所以只有向量和可以用同一条有向线段表示. 故选:B. (2).如图,O是正六边形ABCDEF的中心,且,,.在以A,B,C,D,E,F,O这七个点中任意两点为起点和终点的向量中,问: (1)与相等的向量有哪些? (2)的相反向量有哪些? (3)与共线的向量有哪些? 答案(1) (2) (3) 【解析】 【分析】 根据相等向量、相反向量、平行向量的概念结合图形进行分析求解. 【详解】 (1)与长度相同,方向相同的向量有:; (2)与长度相同,方向相反的向量有:; (3)与方向相同或相反的向量有:. 举一反三 1.下列说法正确的是( ) A.若,则 B.零向量的长度是0 C.长度相等的向量叫相等向量 D.共线向量是在同一条直线上的向量 答案B 【解析】 【分析】 根据向量的相关概念逐一判断即可. 【详解】 A:仅表示与的大小相等,但是方向不确定, 故未必成立,所以A错误; B:根据零向量的定义可判断B正确; C:长度相等的向量方向不一定相同,故C错误; D:共线向量不一定在同一条直线上,也可平行,故D错误. 故选:B. 2.(多选)如图,在四边形ABCD中,若,则图中相等的向量是( ) A.与 B.与 C.与 D.与 答案.AD 【解析】 【分析】 由条件可得四边形ABCD是平行四边形,然后逐一判断即可. 【详解】 因为,所以四边形ABCD是平行四边形, 所以,,, 故选:AD 3.如图,在矩形ABCD中,AD=2AB=2,M,N分别为AD和BC的中点,以A,B,C,D,M,N为起点和终点作向量,回答下列问题: (1)在模为1的向量中,相等的向量有多少对? (2)在模为的向量中,相等的向量有多少对? 试卷第1页,共3页 试卷第1页,共3页 学科网(北京)股份有限公司 学科网(北京)股份有限公司 答案.(1)18对 (2)4对 【解析】 【分析】 (1)根据图形和已知条件,可逐一列出模为1的向量,相等的向量,再确定对数即可; (2)根据图形和已知条件,可逐一列出模为的向量,相等的向量,再确定对数即可; (1) 解:在模为1的向量中,相等的向量有: ①,共有6对; ②,共有6对; ③,共有3对; ④,共有3对; 所以模为1的向量中,相等的向量共有18对. (2) 解:在模为的向量中,相等的向量有: . 共有4对. 二.平面向量的线性运算 向量运算 定义 法则(或几何意义) 运算律 加法 求两个向量和的运算 (1)交换律: a+b=b+a. (2)结合律: (a+b)+c=a+(b+c). 减法 求a与b的相反向量-b的和的运算叫做a与b的差 三角形法则 a-b=a+(-b) 数乘 求实数λ与向量a的积的运算 (1)|λa|=|λ||a|; (2)当λ>0时,λa的方向与a的方向相同;当λ<0时,λa的方向与a的方向相反;当λ=0时,λa=0 λ(μa)=(λμ)a; (λ+μ)a=λa+μa; λ(a+b)=λa+λb 例2:①.如图,已知平行四边形ABCD的对角线AC和BD相交于O,且 , ,则可以表示为( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 根据给定条件利用平面向量的减法运算列式作答. 【详解】 在平行四边形ABCD中,依题意,,而, 所以. 故选:D ②.如图,已知下列各组向量,,求作. 【答案】(1)作图见解析;(2)作图见解析;(3)作图见解析;(4)作图见解析. 【解析】 【分析】 应用向量的性质,将,作平移处理,使一个向量起点与另一个的起点或终点重合,结合三角形或平行四边形法则画出,注意共线向量只需将一个向量起点平移至另一个向量的终点,再连接两向量的另一个起点和终点即可. 【详解】 (1)将的起点移至的终点,即可得,如下图: