专题04 三角恒等变换（9大题型55题,期末真题汇编，江西专用）高一数学下学期北师大版

**基本信息** 江西多地高一下期末真题汇编，聚焦三角恒等变换9大考点，基础题（如和差角公式应用）、综合题（如三角与向量结合）、创新题（如人脸识别余弦距离问题）梯度分布，适配期末复习。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----|----| |选择|18|和差角公式、二倍角公式、辅助角公式|结合终边过点求三角函数值（如第3题）| |填空|10|升降幂公式、三角形形状判断|设置易错点辨析（如第21题降幂公式应用）| |解答|7|三角与三角函数、向量、解三角形综合|分层设问（如第44题含单调性及方程根问题）、创新情境（如第54题人脸识别余弦距离）|

专题03 三角恒等变换 高频考点概览 考点01和、差角公式的应用（重点） 考点02二倍角公式的应用（重点） 考点03 升、降幂公式的应用（易错） 考点04 辅助角公式的应用（重点） 考点05 利用三角变换判断三角形的形状 考点06 三角变换与三角函数的综合（重难） 考点07 三角变换与平面向量的综合（重难） 考点08 三角变换与解三角形的综合（重点） 考点09 三角变换创新题（难点） 考点01 和差角公式的应用 1．（24-25高一下·江西余江一中·期末）（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·江西赣州·期末）已知，均为锐角，且，，则（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·江西抚州·期末）已知角终边过点，则（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高一下·江西·期末）已知，，则（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高一下·江西吉安·期末）________． 6．（24-25高一下·江西吉安·期末）已知，，_________． 7．（24-25高一下·江西抚州·期末）已知，则________． 8．（24-25高一下·江西·期末）已知：，则______． 9．（24-25高一下·江西宜春·期末）已知，且. (1)求的值； (2)若，求的值. 10．（24-25高一下·江西吉安·期末）已知角的顶点与平面直角坐标系的原点重合，始边与轴的非负半轴重合，且，． (1)求角的范围； (2)将角的终边绕原点顺时针方向旋转，这时终边所对应的角记为，若，求的值． 考点02 二倍角公式的应用 11．（24-25高一下·江西上饶·期末）已知，则（   ） A． B． C． D． 12．（24-25高一下·江西宜春·期末）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，若，，均为正整数，则的值为（   ） A． B． C． D． 13．（24-25高一下·江西鹰潭·期末）已知角的终边经过点，则（    ） A． B． C． D． 14．（24-25高一下·江西九江·期末）若，，则（    ） A． B． C． D． 15．（24-25高一下·江西景德镇一中·期末）已知角，，，则（   ） A． B． C． D． 16．（24-25高一下·江西吉安·期末）若，则的值为（   ） A． B． C． D． 17．（24-25高一下·江西南大附中·期末）若，则（    ） A． B． C． D． 18．（多选）（24-25高一下·江西南昌·期末）已知，，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 19．（24-25高一下·江西余江一中·期末）已知角的终边上有一点，则______． 20．（24-25高一下·江西鹰潭·期末）已知，且均为锐角． (1)求的值； (2)求的值． 考点03 升、降幂公式的应用 21．（24-25高一下·江西九江一中·期末）已知，则（    ） A． B．1 C． D． 22．（多选）（24-25高一上·江西景德镇·期末）化简下式，正确的是（ ） A．= B．= C． D．= 23．（24-25高一下·江西九江·期末）函数的最大值为（    ） A． B．2 C． D．3 24．（24-25高一下·江西宜春·期末）已知角α的终边经过点． (1)求，，的值； (2)求的值； (3)已知α、β是锐角，且满足，求的值． 考点04 辅助角公式的应用 25．（24-25江西吉安五所重点中学·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 26．（24-25高一下·江西·期末）的值为（ ） A．1 B． C． D．2 27．（24-25高二下·江西抚州六校期末联考）的值为（   ） A． B． C． D． 28．（24-25高一下·江西九江一中·期末）若关于x的方程无解，则实数k的取值范围是____________. 29．（24-25·江西鹰潭·期末）设当时，函数取得最大值，则______. 考点05 利用三角变换判定三角形的形状 30．（24-25高一下·江西·期末）在中，A是锐角，且，则的形状一定为（   ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 31．（24-25高一下·江西江科附中·期末）在△ABC中，若，则△ABC是（    ） A．等边三角形 B．等腰直角三角形 C．等腰三角形 D．直角三角形 32．（24-25高一下·江西景德镇一中·期末）在中，已知，则的形状是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰或直角三角形 D．等边三角形 考点06 三角变换与三角函数的综合 33．（24-25高一下·江西抚州·期末）函数的图象向左平移个单位得到函数的图象，若函数是奇函数，则（   ） A． B． C． D． 34．（24-25高一下·江西抚州·期末）设，，，则有（   ） A． B． C． D． 35．（24-25高一下·江西余干蓝天教育集团·期末）将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，则函数的最大值为（    ） A． B． C． D． 36．（24-25高一下·江西南昌大学附中·期末）已知函数f(x)=sinx+acosx的图象的一条对称轴是x=,则函数g(x)=asinx+cosx的最大值是(　　) A． B． C． D． 37．（24-25高一下·江西全南中学·期末）已知函数的部分图象如图所示，若，则（ ） A． B． C． D． 38．（24-25高一下·江西吉安市五所重点中学·期末）函数在区间上的零点个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 39．（24-25高一下·江西宜春中学·期末）已知函数的最大值为2，若在区间上恰有2个零点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 40．（24-25高一下·江西南大附中·期末）函数，若使关于的不等式成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 41．(多选)（24-25高一下·江西宜春·期末）已知函数，若函数为偶函数，则的值可以是（   ） A． B． C． D． 42．（多选）（24-25高一下·江西萍乡·期末）已知函数，则（   ） A．的最小正周期为 B．在上为增函数 C． D．若为奇函数，则的最小值为 43．（多选）（24-25·江西师大附中·期末）已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．当时，在上单调递减 B．若函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，则的最小值为5 C．若函数的最小正周期为，则 D．当时，若关于的方程的两个不相等实根为，，则 44．（24-25高一下·江西上饶·期末）已知函数. (1)求的单调增区间； (2)若关于的方程在区间内有两个不同的解，. （i）求实数的取值范围； （ii）求（用表示）. 考点07 三角变换与平面向量的综合 45．（24-25高一下·江西南昌·期末）在锐角中，若的最小值为，则的最大值为________． 46．（24-25高一下·江西景德镇·期末）已知向量，，若在上的投影向量，则向量与的夹角为________． 47．（24-25高一上·江西景德镇·期末）如图，边长为4的正方形中，半径为1的动圆的圆心在边和上移动（包含端点），是圆上及其内部的动点，设，，则的取值范围是_____________. 48．（24-25高一下·江西景德镇一中·期末）已知向量，，设函数. (1)求函数的最大值，及取得最大值时x取值的集合； (2)设A，B，C为锐角三角形ABC的三个内角，若，，求的值. 考点08 三角变换与解三角形的综合 49．（24-25高一下·江西·期末）在中，角所对的边分别为，，，若，，则（   ） A． B． C． D． 50．（23-24高一下·江西南昌·期末）在中，若，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 51．（24-25高一下·江西丰城九中·期末）设函数（，），该函数图像上相邻两个最高点间的距离为，且为奇函数. (1)求的解析式； (2)在锐角中，角的对边分别为，，，若，求的取值范围. 52．（24-25高一上·江西九江·期末）记△ABC的面积为S，内角A，B，C'的对边分别为a，b，c，且顶点A，B，C均在半径为1的圆上. (1)求的值； (2)若，求． 考点09 三角变换创新题 53．（24-25高一下·江西抚州·期末）已知函数，若存在实数，，使得对于定义域内的任意实数，均有成立，则称函数为“可平衡”函数；有序数对称为函数的“平衡”数对． (1)若，求函数的“平衡”数对； (2)若，判断是否为“可平衡”函数，并说明理由； (3)若，且、均为函数的“平衡”数对，求的取值范围． 54．（24-25高一下·江西九江·期末）人脸识别技术在社会各行各业中的应用深刻改变着人们的生活.所谓人脸识别，就是利用计算机分析人脸视频或者图像、并从中提取出有效的识别信息，最终判别对象的身份.在人脸识别中，为了检测样本之间的相似度主要运用余弦距离进行测试.二维空间有两个点，，定义之间的余弦距离为，其中. (1)若，，求之间的余弦距离； (2)已知，，，，若，， ①求之间的余弦距离； ②求的值． 55．（24-25高一下·江西·期末）设平面内两个非零向量的夹角为，定义一种新运算“”：. (1)已知向量，求； (2)设向量，且，证明：； (3)已知向量，若，求的值. 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 三角恒等变换 高频考点概览 考点01和、差角公式的应用（重点） 考点02二倍角公式的应用（重点） 考点03 升、降幂公式的应用（易错） 考点04 辅助角公式的应用（重点） 考点05 利用三角变换判断三角形的形状 考点06 三角变换与三角函数的综合（重难） 考点07 三角变换与平面向量的综合（重难） 考点08 三角变换与解三角形的综合（重点） 考点09 三角变换创新题（难点） 考点01 和差角公式的应用 1．（24-25高一下·江西余江一中·期末）（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 . 故选：A. 2．（24-25高一下·江西赣州·期末）已知，均为锐角，且，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，均为锐角，，， 所以，所以，， 所以， 所以 则 故选：A. 3．（24-25高一下·江西抚州·期末）已知角终边过点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由三角函数的定义可得，， 由两角差的正弦公式可得. 故选：B. 4．（24-25高一下·江西·期末）已知，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，所以． 故选：. 5．（24-25高一下·江西吉安·期末）________． 【答案】/ 【详解】原式 . 6．（24-25高一下·江西吉安·期末）已知，，_________． 【答案】 【详解】由，可得， 由可得：，即， 联立可得：，，所以． 故答案为：. 7．（24-25高一下·江西抚州·期末）已知，则________． 【答案】 【详解】由，得， 整理得，所以. 8．（24-25高一下·江西·期末）已知：，则______． 【答案】 【详解】因为， 所以， 整理得． 9．（24-25高一下·江西宜春·期末）已知，且. (1)求的值； (2)若，求的值. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为，所以， 又，所以， 所以. （2）由（1）可知， 因为，所以， 即，解得. 10．（24-25高一下·江西吉安·期末）已知角的顶点与平面直角坐标系的原点重合，始边与轴的非负半轴重合，且，． (1)求角的范围； (2)将角的终边绕原点顺时针方向旋转，这时终边所对应的角记为，若，求的值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题意得，即 ∴角终边在第四象限． ∴角的取值集合为：． （2）由（1）知，角为第四象限角，故角为第三或第四象限角，． 又∵， ∴角为第三象限角， ∴ ∴． 考点02 二倍角公式的应用 11．（24-25高一下·江西上饶·期末）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，所以 . 故选：B 12．（24-25高一下·江西宜春·期末）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，若，，均为正整数，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】在中，，所以，所以， 因为，在上单调递增，，，均为正整数， 所以A，B，C均锐角，所以，，即， 所以，所以，又， 即，解得或（舍去）， 所以，若，则，则， 此时，显然不符合题意，所以，则，所以，， 此时，符合题意， 所以， 所以. 故选：C. 13．（24-25高一下·江西鹰潭·期末）已知角的终边经过点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：角的终边经过点， ，， ， ， ． 故选：C． 14．（24-25高一下·江西九江·期末）若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由三角函数的基本关系式和倍角公式，可得 因为，所以， 整理得，即， 因为，可得，所以， 则，所以. 故选：A. 15．（24-25高一下·江西景德镇一中·期末）已知角，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】角，由得， 则，又因为在上单调递增，则， 而， 同理有， 所以， 且，得. 故选：A. 16．（24-25高一下·江西吉安·期末）若，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意得，解得， 所以. 故选：A. 17．（24-25高一下·江西南大附中·期末）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】令，，则， 令，则 所以 故选：B. 18．（多选）（24-25高一下·江西南昌·期末）已知，，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】因为，， 所以，，， 所以，，， 故选：ABD. 19．（24-25高一下·江西余江一中·期末）已知角的终边上有一点，则______． 【答案】/ 【详解】由三角函数的定义，知，所以， ． 故答案为： 20．（24-25高一下·江西鹰潭·期末）已知，且均为锐角． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）均为锐角， ，， 故， 又，， ， ， 故； （2）， ，， . 考点03 升、降幂公式的应用 21．（24-25高一下·江西九江一中·期末）已知，则（    ） A． B．1 C． D． 【答案】D 【详解】由，得，即，，所以，. 故选：D． 22．（多选）（24-25高一上·江西景德镇·期末）化简下式，正确的是（ ） A．= B．= C． D．= 【答案】BD 【详解】A.，选项A错误. B.，选项B正确. C. ，选项C错误. D. ，选项D正确. 故选：BD. 23．（24-25高一下·江西九江·期末）函数的最大值为（    ） A． B．2 C． D．3 【答案】C 【详解】，其中. 所以的最大值为. 故选：C． 24．（24-25高一下·江西宜春·期末）已知角α的终边经过点． (1)求，，的值； (2)求的值； (3)已知α、β是锐角，且满足，求的值． 【答案】(1)，， (2) (3) 【详解】（1）由三角函数的定义：，， （2）原式 （3）因为α，，所以 因为，所以， 所以 所以 考点04 辅助角公式的应用 25．（24-25江西吉安五所重点中学·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意可得：， 则：，， 从而有：， 即. 故选：B. 26．（24-25高一下·江西·期末）的值为（ ） A．1 B． C． D．2 【答案】D 【详解】 . 故选：D. 27．（24-25高二下·江西抚州六校期末联考）的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 . 故选：A 28．（24-25高一下·江西九江一中·期末）若关于x的方程无解，则实数k的取值范围是____________. 【答案】 【详解】由题意可知：与没有交点， 因为， 且，可得， 可知，所以实数k的取值范围是. 故答案为：. 29．（24-25·江西鹰潭·期末）设当时，函数取得最大值，则______. 【答案】； 【详解】f(x)＝sin x－2cos x＝＝sin(x－φ)，其中sin φ＝，cos φ＝，当x－φ＝2kπ＋ (k∈Z)时，函数f(x)取得最大值，即θ＝2kπ＋＋φ时，函数f(x)取到最大值，所以cos θ＝－sin φ＝－. 考点05 利用三角变换判定三角形的形状 30．（24-25高一下·江西·期末）在中，A是锐角，且，则的形状一定为（   ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 【答案】B 【详解】由题意可得，整理得， 移项得，故． 因为在中，，，， 所以，即，故． 故选：B． 31．（24-25高一下·江西江科附中·期末）在△ABC中，若，则△ABC是（    ） A．等边三角形 B．等腰直角三角形 C．等腰三角形 D．直角三角形 【答案】C 【详解】因为 所以， 因为 则 又， 所以, 所以 所以. 又为△ABC的内角，所以. 所以，故△ABC为等腰三角形. 故选：C. 32．（24-25高一下·江西景德镇一中·期末）在中，已知，则的形状是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰或直角三角形 D．等边三角形 【答案】A 【详解】因为， ， 所以，，即， 因为，所以 所以，即为等腰三角形. 故选：A． 考点06 三角变换与三角函数的综合 33．（24-25高一下·江西抚州·期末）函数的图象向左平移个单位得到函数的图象，若函数是奇函数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由函数的图象向左平移个单位得到函数的图象， 可得. 因为函数的定义域为，且是奇函数， 所以，即， 即， 即，所以. 故选：B 34．（24-25高一下·江西抚州·期末）设，，，则有（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由， ， ， 根据正弦函数的单调性可知， 根据正切函数的单调性可知， 故选：D. 35．（24-25高一下·江西余干蓝天教育集团·期末）将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，则函数的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】函数的图象向右平移个单位长度后得到函数 所以，则 当时，取得最大值，且最大值为 故选：C. 36．（24-25高一下·江西南昌大学附中·期末）已知函数f(x)=sinx+acosx的图象的一条对称轴是x=,则函数g(x)=asinx+cosx的最大值是(　　) A． B． C． D． 【答案】B 【详解】f(x)=sinx+acosx=sin(x+)（cos=）, ∵x=为函数f(x)图象的一条对称轴, ∴π+=kπ+(k∈Z), 又cos>0, ∴取=-, 则cos=, ∴=. ∵g(x)=sin(x+θ)（cosθ=）, ∴g(x)max==.故选B. 37．（24-25高一下·江西全南中学·期末）已知函数的部分图象如图所示，若，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题图可知相邻对称轴间的距离为，可得， 因此，， 当时，，，故，． 由可得， 由函数的最大值为3可得，因此， 由，得， ∴． 故选：A． 38．（24-25高一下·江西吉安市五所重点中学·期末）函数在区间上的零点个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【详解】化简函数， 令，则，解得或. 当时，，因此函数在上的零点个数为3. 故选：A. 39．（24-25高一下·江西宜春中学·期末）已知函数的最大值为2，若在区间上恰有2个零点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】 ， 所以当时，取到最大值， 解得，所以. 令， 在区间上有2个零点， 即在区间上有2个零点， ，解得. 故选：D 40．（24-25高一下·江西南大附中·期末）函数，若使关于的不等式成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】函数的定义域为，定义域关于原点对称， 因， 由，可得是奇函数． 又，因在上单调递增且恒为正， 故在上为减函数，则在上单调递增． 故不等式 等价于， 则有（*）． 因为，令，则， 由（*）可得，即,使． 令，，则， 故．即的取值范围是. 故选：C. 41．（多选）（24-25高一下·江西宜春·期末）已知函数，若函数为偶函数，则的值可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】BD 【详解】由题意知 ， 所以，又函数为偶函数， 所以，，即，， 所以当时，；当时，. 故选:BD. 42．（多选）（24-25高一下·江西萍乡·期末）已知函数，则（   ） A．的最小正周期为 B．在上为增函数 C． D．若为奇函数，则的最小值为 【答案】ACD 【详解】A选项，，故最小正周期为，A正确； B选项，，，由于在上不单调， 故在上不单调，B错误； C选项，，故，C正确； D选项，为奇函数， 故，解得，则， 当时，取得最小值，最小值为. 故选：ACD 43．（多选）（24-25·江西师大附中·期末）已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．当时，在上单调递减 B．若函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，则的最小值为5 C．若函数的最小正周期为，则 D．当时，若关于的方程的两个不相等实根为，，则 【答案】AB 【详解】由可得， 对于A，当时，，当时，， 故在上单调递减，A正确； 对于B，将函数的图象向左平移得， 则，可得， 解得，故的最小值为5，B正确； 对于C，的最小正周期为，故，解得，故C错误； 对于D，当时，，由可得， 故， 则 ，故，因此，故D错误. 故选：AB 44．（24-25高一下·江西上饶·期末）已知函数. (1)求的单调增区间； (2)若关于的方程在区间内有两个不同的解，. （i）求实数的取值范围； （ii）求（用表示）. 【答案】(1) (2)（i）；（ii） 【详解】（1）， 由得， 所以增区间为； （2）（i）由得， 即，其中，. 所以要保证在区间内有两个不同的解，则，解得. 故实数的取值范围为. （ii）当时，，即； 此时， 而，所以， 当时，，即； 此时， 而，所以； 综上，. 考点07 三角变换与平面向量的综合 45．（24-25高一下·江西南昌·期末）在锐角中，若的最小值为，则的最大值为________． 【答案】 【详解】过点作于点， 则的最小值为，即， 在中，， 因为为锐角三角形，所以，则， 所以 ， 因为，所以， 所以，所以， 即的最大值为， 故答案为：． 46．（24-25高一下·江西景德镇·期末）已知向量，，若在上的投影向量，则向量与的夹角为________． 【答案】 【详解】设向量与的夹角为， 因为在上的投影向量，，， 所以，， 则在上的投影向量为， 所以，所以， 所以 因为，所以， 47．（24-25高一上·江西景德镇·期末）如图，边长为4的正方形中，半径为1的动圆的圆心在边和上移动（包含端点），是圆上及其内部的动点，设，，则的取值范围是_____________. 【答案】 【详解】解：建立如图所示平面直角坐标系，可得， ，由可得， 当点在上运动时，设， 则点在圆：上及内部， 故可设， 则， ，故， 其中锐角满足， 由于，, 当时，取最小值为，即； 当时，取最大值为，即， 的取值范围是； 当点在上运动时，设， 则在圆：上及其内部， 故可设， 则， ，故， 其中锐角满足， 由于，, 当时，取最小值为； 当时，取最大值为，即， 的取值范围是； 综上可得的取值范围是； 故答案为： 48．（24-25高一下·江西景德镇一中·期末）已知向量，，设函数. (1)求函数的最大值，及取得最大值时x取值的集合； (2)设A，B，C为锐角三角形ABC的三个内角，若，，求的值. 【答案】(1)最大值为，取得最大值时取值的集合为 (2) 【详解】（1）由题意可得： ， 可知当，即时，函数取到最大值， 所以函数的最大值为，此时取值的集合为. （2）因为，即， 且，则，可知，即， 又因为，，则， 所以. 考点08 三角变换与解三角形的综合 49．（24-25高一下·江西·期末）在中，角所对的边分别为，，，若，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由，得， 则， 所以， 化简得，即． 故选：. 50．（23-24高一下·江西南昌·期末）在中，若，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，则， 令，因为，所以，则， 则，则. 则的取值范围为. 故选：A. 51．（24-25高一下·江西丰城九中·期末）设函数（，），该函数图像上相邻两个最高点间的距离为，且为奇函数. (1)求的解析式； (2)在锐角中，角的对边分别为，，，若，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由函数图像上相邻两个最高点间的距离为，所以可得，解得， 所以函数解析式为， 又因为为奇函数，所以，又，所以， 所以， （2）， 由正弦定理得， ， ． ，．， ，，所以，所以， 由（1）知， 所以 ， 又因为，所以， 所以， 所以的取值范围为. 52．（24-25高一上·江西九江·期末）记△ABC的面积为S，内角A，B，C'的对边分别为a，b，c，且顶点A，B，C均在半径为1的圆上. (1)求的值； (2)若，求． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由正弦定理，故． （2）由（1）知，由可得，故； 若，则由余弦定理可得，故，矛盾； 故，则由余弦定理可得，故，符合； 由正弦定理得，即， 而，故，即， 故. 考点09 三角变换创新题 53．（24-25高一下·江西抚州·期末）已知函数，若存在实数，，使得对于定义域内的任意实数，均有成立，则称函数为“可平衡”函数；有序数对称为函数的“平衡”数对． (1)若，求函数的“平衡”数对； (2)若，判断是否为“可平衡”函数，并说明理由； (3)若，且、均为函数的“平衡”数对，求的取值范围． 【答案】(1)； (2)是“可平衡”函数，理由见解析； (3) 【详解】（1）因为为“可平衡”函数， 所以对于任意实数，均有成立， 即对于定义域内的任意实数恒成立， 故只有，符合题意，所以函数的“平衡”数对为. （2）时，，， 若是“可平衡”函数，则， 所以，解得， 所以存在，所以是“可平衡”函数. （3），， 因为，所以，， ， 令，则，在上单调递增， 所以. 54．（24-25高一下·江西九江·期末）人脸识别技术在社会各行各业中的应用深刻改变着人们的生活.所谓人脸识别，就是利用计算机分析人脸视频或者图像、并从中提取出有效的识别信息，最终判别对象的身份.在人脸识别中，为了检测样本之间的相似度主要运用余弦距离进行测试.二维空间有两个点，，定义之间的余弦距离为，其中. (1)若，，求之间的余弦距离； (2)已知，，，，若，， ①求之间的余弦距离； ②求的值． 【答案】(1)； (2)①；②5 【详解】（1）由题意得， ∴之间余弦距离为； （2）①由题意得 ∵，∴，∴， ∵， ∴，∵，∴ ∴，之间的余弦距离为. ②由①可得，， ∴，∴ ∴ 55．（24-25高一下·江西·期末）设平面内两个非零向量的夹角为，定义一种新运算“”：. (1)已知向量，求； (2)设向量，且，证明：； (3)已知向量，若，求的值. 【答案】(1)(2)证明见解析(3) 【详解】（1）设的夹角为，则， 所以， 所以， 故. （2）设的夹角为， 则， 所以 ， 则， 于是，. （3）由题意，， 则由（2）的公式可得：， 又，则得， 故. 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $