第六章 立体几何初步（讲义+典型例题）-2021-2022学年高一下学期数学 北师大版（2019）必修第二册

第六章 立体几何初步（讲义+例题） 一、基本立体图形 1. 多面体 一般地，由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体。围成多面体的各个多边形叫做多面体的面；两个面的公共边叫做多面体的棱；棱与棱的公共点叫做多面体的顶点。 2. 旋转体 一条平面曲线，包括直线，绕它所在平面内的一条定直线旋转所成的曲面叫做旋转面。封闭的旋转面围成的几何体叫做旋转体。这条定直线叫做旋转体的轴。 3. 棱柱 一般地，有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱。在棱柱中，两个互相平行的面叫做棱柱的底面，它们是全等的多边形，其余各面叫做棱柱的侧面，它们都是平行四边形，相邻两边的公共边叫做棱柱的侧棱，侧面和底面的公共顶点叫做棱柱的顶点。 棱柱的底面可以是三角形、四边形、五边形，我们把这样的棱柱分别叫做三棱柱、四棱柱、五棱柱。 一般地，我们把侧面垂直于底面的棱柱叫做直棱柱，侧面不垂直于底面的棱柱叫做斜棱柱，底面是正多边形的，直棱柱叫做正棱柱，底面是平行四边形的四棱柱，也叫做平行六面体。 4. 棱锥 一般地，有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥。这个多边形面叫做棱锥的底面，有公共顶点的各个三角形面叫做棱锥的侧面，相邻两边的公共边叫做棱锥的侧棱，这侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点。棱锥，用表示顶点和各面各顶点的字母来表示，其中三棱锥又叫四面体，底面是正多边形并且顶点与底面中心的连线垂直于底面的棱锥叫做正棱锥。 5. 棱台 用一个平行于圆锥底面的平面去截棱锥，我们把底面和截面之间那部分多面体叫做棱台。在棱台中，原棱锥的底面和截面分别叫做棱台的下底面和上底面面，类似于棱柱、棱锥，棱台也有侧面、侧棱和顶点。 6. 圆柱 与矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆柱。旋转轴叫做圆柱的轴，垂直于轴的边旋转而成的圆面，叫做圆柱的底面，平行的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面，无论旋转到什么位置，平行于轴的边叫做圆柱侧面的母线。 7. 圆锥 与圆柱一样，圆锥也可以看作是由平面图形旋转而成的。以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆锥。圆锥也有底面、侧面和母线。圆锥也用表示它的轴的字母表示。 8.圆台 与棱台相似，用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台。与圆柱和圆锥一样，圆台也有轴、底面、侧面、母线。 9.球 半圆与它的直径所在直线为旋转轴旋转一周形成的曲面叫做球面，球面所围成的旋转体叫做球体，简称球。半圆的圆心叫做球的球心，连接球心和球面上任意一点的线段叫做球的半径，连接球面上两点，并且经过圆心的线段叫做球的直径。球常用表示全新的字母来表示，记作球O。 棱柱、棱锥、棱台、圆柱、圆锥、圆台和球是常见的简单几何体，其中棱柱与圆柱统称为主体，圆锥与棱锥统称为锥体，棱台与圆台，统称为台体。 10. 简单组合体 除原柱体、锥体、台体和球等简单几何体外，还有大量的几何体是由简单几何体组合而成的，这些几何体称作简单组合体。 简单组合体的构成有两种基本形式，一种是由简单几何体拼接而成，一种是由简单几何体截去或挖去一部分而成。 题型一：旋转体的有关概念 例1.用一个平面去截一个圆台，得到的图形不可能是（       ） A．矩形 B．圆形 C．梯形 D．三角形 【答案】AD 【解析】 【分析】 根据圆台的结构特征结合空间想象可得结果. 【详解】 根据圆柱的结构特征， 用一个平行底面的平面截圆台可得圆形，当平面与圆柱轴所在直线线平行或经过轴所在直线时，可得梯形，不论平面与圆台如何相交，截面都不可能是矩形和三角形， 故选：AD 举一反三 1．将一个等腰梯形绕着它的较长的底边所在直线旋转一周，所得的几何体包括（       ） A．一个圆台、两个圆锥 B．一个圆台、一个圆柱 C．两个圆台、一个圆柱 D．一个圆柱、两个圆锥 【答案】D 【解析】 【分析】 画出等腰梯形，考虑较长的底边，旋转可得形状． 【详解】 设等腰梯形，较长的底边为， 则绕着底边旋转一周可得一个圆柱和两个圆锥， 轴截面如图， 故选：D 题型二：圆柱、圆锥、圆台、球中基本元素的计算 例2．已有OA为球O的半径，过OA的中点M且垂直于OA的平面截球面得到圆M． (1)若，求圆M的面积； (2)若圆M的面积为，求OA． 【答案】(1); (2)2. 【解析】 【分析】 （1）根据球的半径、圆的半径、球心到圆心的距离构成直角三角形即可求解； （2）由圆的面积得出球的半径，再由上述直角三角形即可求出球的半径得. (1) 过球心作截面，如图， 因为， 所以, 即圆M的半径为， 圆M的面积为， (2) 因为圆M的面积为， 所以圆M的半径. 设球