6.3 平面向量基本定理及坐标表示 【教学设计】(4课时)-高中数学人教A版新教材2019必修第二册小单元教学+专家指导（视频+课件+教案）

学科 数学 备课人 刘迪生 课时 第1课时 标题 平面向量基本定理 课 时 目 标 知识与技能： 1.理解平面向量基本定理，了解向量的一组基底的含义； 2.在平面内，当一组基底选定后，会用这组基底来表示其他向量； 3.会应用平面向量基本定理解决有关平面向量的综合问题。 过程与方法： 经历平面向量基本定理的发现和证明过程，体会转化与化归的数学思想和严谨的数学证明，培养学生的逻辑推理素养； 通过平面向量基本定理，体会数与形的相互对应的关系形成过程，培养学生的数形结合思想； 情感态度价值观： 让学生感受到“以两个不共线的向量组成的基底可以表示平面任意向量”的简洁和“把形转化为数”神奇。 重 点 理解了解平面向量基本定理及其意义 难 点 平面向量基本定理的理解证明 教学过程设计 环节 师生活动 设计意图 单元 引言 师：大家在前面章节刚刚学习了向量的概念和运算，而这些内容的学习更多停留在“几何意义”方面，发现向量除了大小，还有方向，所以它跟我们之前一直使用的数和数的运算很不一样，可能让学生产生一定的陌生感和不适应，那么接下来这一节的学习，则将会把向量及其运算与我们的熟悉的数的运算统一起来，让向量及其运算变得简单！ 为这一单元的学习功能做一个简单的概括，树立学生的学习信心，引发学生的学习欲望。 一、 复习 回顾 引出 问题 复习：向量共线定理，并在课件中投影一组共线向量，并指出在 “选定一个非零向量”的前提下，其他向量均可用唯一表示，即：存在唯一的实数，使其等于； 问题1：若向量 与 不共线，还可以由向量表示出来吗? 生：不能，表示不出来。 追问：那么要怎样才能表示出向量 呢? 进一步巩固“向量共线定理”的内容，方便接下来运用到； 提出“向量表示”的概念，并且“共线向量定理”可以理解为一维空间的向量基本定理，为二维的平面向量基本定理的学习的一个铺垫； 通过问题，引发冲突：表示不出来怎么办?为平面向量基本定理的出场“热场” 二、 设置 情境 操作 探究 提出 新知 问题2：如图，两根绳子吊着一个物体，你能知道这两根绳子的拉力各是多少吗？（请画图示意） 问题3（让学生探究）：如图，设是同一平面内两个不共线的向量，是这一平面内与都不共线的向量，在平面内任取一点O，作将按的方向分解，你有什么发现？ 生答：如图，，向量a可以分解为两个向量的和。 追问：平面上，任意向量都可以用表示吗？让学生分解选择以下两个向量之一进行再次尝试。 问题4：当是零向量时，还能用表示吗？ 生答：可以，取，，则 问题5：若向量与共线，那么还能用这种形式表示吗？ 生答：若向量与共线，取，则 若向量与共线时，取，则 问题6：类比前面的一维情况，平面内任何一个向量a都可以表示成λ1e1+λ2e2的形式，那么这种表示是唯一的（即前面的系数）吗？ 师证：假设 即（λ1－μ1）e1+（λ2－μ2）e2=0 假设λ1－μ1，λ2－μ2不全为0 不妨假设λ1－μ1≠0 则 由此可得e1，e2共线，与已知e1，e2不共线矛盾 则λ1－μ1，λ2－μ2全为0，即λ1=μ1，λ2=μ2 所以表示形式是唯一的。 利用信息技术（几何画板）展示前面探索的内容： 综上，与学生一起概括出“平面向量基本定理”：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a=λ1e1+λ2e2，我们把不共线向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底。 一起提出注意：(1)基底不唯一，关键是不共线； (2)由定理可将任一向量a在给出基底e1，e2的条件下进行分解；(3)基底给定时，线性表示是唯一的。 生动结合物理“力的分解”，感受向量可以分解到两个方向上去，相当于用两个向量表示了一个向量。 “实践出真知”，让学生操作探究，亲身经历基本定理的发现过程，使定理学习更为深刻，同时也让学生体会数学发现的乐趣。 问题探究的形式，引导学生思考，不断精确，逐步引出平面向量基本定理的具体内容，同时培养学生类比能力以及化归能力，激发学生学习的兴趣和自主探索的精神。 这里通过证明“唯一性”，让学生感受数学的严谨扎实，无可辩驳，培养学生逻辑推理素养。 借助信息技术，让学生更直观、更生动、更具体的感知平面向量基本定理，让定理变得非常容易理解。 三、 对比 提升， 加深 理解 向量共线定理 平面向量基本定理 条件 定一个非零向量 两个不共线向量e1，e2 结论 与向量共线的向量，均存在唯一的实数，使其等于 对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a=λ1e1+λ2e2 实质 通过对比，加深对平面向量基本定理本质含义的理解，