专题9.5 多项式的因式分解-《讲亮点》2021-2022学年七年级数学下册教材同步配套讲练（苏科版）

《讲亮点》2021-2022学年七年级数学下册教材同步配套讲练《苏科版》 专题9.5 多项式的因式分解 【教学目标】 1.理解因式分解的概念,明确学习因式分解的意义; 2.感受分解因式与整式乘法是相反方向的运算,掌握提公因式法和公式法(直接运用公式不超过两次)这两种分解因式的基本方法, 3.了解因式分解的一般步骤;能够熟练地运用这些方法进行多项式的因式分解. 【教学重难点】 1.理解因式分解的概念,明确学习因式分解的意义; 2.感受分解因式与整式乘法是相反方向的运算,掌握提公因式法和公式法(直接运用公式不超过两次)这两种分解因式的基本方法, 3.了解因式分解的一般步骤;能够熟练地运用这些方法进行多项式的因式分解. 【知识亮解】 知识点一、公因式 多项式的各项中都含有相同的因式,那么这个相同的因式就叫做公因式. 特别说明:(1)公因式必须是每一项中都含有的因式. (2)公因式可以是一个数,也可以是一个字母,还可以是一个多项式. (3)公因式的确定分为数字系数和字母两部分:①公因式的系数是各项系数的最大公约数.②字母是各项中相同的字母,指数取各字母指数最低的. 知识点二、提公因式法 把多项式分解成两个因式的乘积的形式,其中一个因式是各项的公因式,另一个因式是,即,而正好是除以所得的商,这种因式分解的方法叫提公因式法. 特别说明:(1)提公因式法分解因式实际上是逆用乘法分配律, 即. (2)用提公因式法分解因式的关键是准确找出多项式各项的公因式. (3)当多项式第一项的系数是负数时,通常先提出“—”号,使括号内的第一项的系数变为正数,同时多项式的各项都要变号. (4)用提公因式法分解因式时,若多项式的某项与公因式相等或它们的和为零,则提取公因式后,该项变为:“+1”或“-1”,不要把该项漏掉,或认为是0而出现错误. 知识点三、公式法——平方差公式 两个数的平方差等于这两个数的和与这两个数的差的积,即: 特别说明:(1)逆用乘法公式将特殊的多项式分解因式. (2)平方差公式的特点:左边是两个数(整式)的平方,且符号相反,右边是两个数(整式)的和与这两个数(整式)的差的积. (3)套用公式时要注意字母和的广泛意义,、可以是字母,也可以是单项式或多项式. 知识点四、公式法——完全平方公式 两个数的平方和加上(减去)这两个数的积的2倍,等于这两个数的和(差)的平方. 即,. 形如,的式子叫做完全平方式. 特别说明:(1)逆用乘法公式将特殊的三项式分解因式; (2)完全平方公式的特点:左边是二次三项式,是这两数的平方和加(或减)这两数之积的2倍. 右边是两数的和(或差)的平方. (3)完全平方公式有两个,二者不能互相代替,注意二者的使用条件. (4)套用公式时要注意字母和的广泛意义,、可以是字母,也可以是单项式或多项式. 知识点五、十字相乘法 利用十字交叉线来分解系数,把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法. 对于二次三项式,若存在,则 特别说明:(1)在对分解因式时,要先从常数项的正、负入手,若,则同号(若,则异号),然后依据一次项系数的正负再确定的符号 (2)若中的为整数时,要先将分解成两个整数的积(要考虑到分解的各种可能),然后看这两个整数之和能否等于,直到凑对为止. 知识点六、首项系数不为1的十字相乘法 在二次三项式(≠0)中,如果二次项系数可以分解成两个因数之积,即,常数项可以分解成两个因数之积,即,把排列如下: 按斜线交叉相乘,再相加,得到,若它正好等于二次三项式的一次项系数,即,那么二次三项式就可以分解为两个因式与之积,即. 特别说明:(1)分解思路为“看两端,凑中间” (2) 二次项系数一般都化为正数,如果是负数,则提出负号,分解括号里面的二次三项 式,最后结果不要忘记把提出的负号添上. 知识点七、分组分解法 对于一个多项式的整体,若不能直接运用提公因式法和公式法进行因式分解时,可考虑分步处理的方法,即把这个多项式分成几组,先对各组分别分解因式,然后再对整体作因式分解——分组分解法.即先对题目进行分组,然后再分解因式. 特别说明:分组分解法分解因式常用的思路有: 方法 分类 分组方法 特点 分组分解法 四项 二项、二项 ①按字母分组②按系数分组 ③符合公式的两项分组 三项、一项 先完全平方公式后平方差公式 五项 三项、二项 各组之间有公因式 六项 三项、三项 二项、二项、二项 各组之间有公因式 三项、二项、一项 可化为二次三项式 知识点八:添、拆项法 把多项式的某一项拆开或填补上互为相反数的两项(或几项),使原式适合于提公因式法、公式法或分组分解法进行分解.要注意,必须在与原多项式相等的原则下进行变形. 添、拆项法分解因式需要一定的技巧性,在仔细观察题目后可先尝试进行添、拆项,在反复尝试中熟练掌握技巧和方法. 知识点九:因