17微专题二 角平分线四大模型(PPT)-2022山东中考数学【智乐星中考·中考备战】(人教版)精讲本

精讲本 2022山东 数学 * 中考备战 微专题二　角平分线四大模型 如图，P是∠MON的平分线上一点，过点P作 PA⊥OM 于点A，PB⊥ON于点 B，则PB＝PA. 由角平分线上的点向两边作垂线 * 中考备战 【模型分析】利用角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相 等，构造模型，为边相等、角相等、三角形全等创造更多的条件，进而 可以快速找到解题的突破口． * 中考备战 例1 (2020·扬州)如图，在△ABC中，按以下步骤作图： ①以点B为圆心，任意长为半径作弧，分别交AB，BC于点D，E； ②分别以点D，E为圆心，大于 DE的同样长为半径作弧，两弧交于点F； ③作射线BF交AC于点G. 如果AB＝8，BC＝12，△ABG的面积为18，则△CBG的面积为 ． * 中考备战 【思路分析】由作图步骤可知BG为∠ABC的平分线，过点G作GH⊥BC， GM⊥AB，垂足分别为H，M，可得GM＝GH，然后再结合已知条件和三角形 的面积公式求得GM，最后运用三角形的面积公式解答即可． 【规范解答】解：由作图步骤可知BG为∠ABC的平分线． 如图，过点G作GN⊥BC， GM⊥AB，垂足分别为N，M，∴GM＝GN. * 中考备战 * 中考备战 如图，P是∠MON的平分线上一点，点A是射线OM上任意一点，在ON上截 取OB＝OA，连接PB，则△OPB≌△OPA. 截取构造对称全等 * 中考备战 【模型分析】利用角平分线图形的对称性，在角的两边构造对称全等三 角形，可以得到对应边、对应角相等．利用对称性把一些线段或角进行 转移，这是经常使用的一种解题技巧． * 中考备战 例2 (2020·泸州)如图，AB平分∠CAD，AC＝AD.求证：BC＝BD. 【思路分析】由AB平分∠CAD可知∠BAC＝∠BAD，再根据AC＝AD，AB＝ AB可判断出△ABC≌△ABD，从而得到BC＝BD. * 中考备战 【规范解答】 证明：∵AB平分∠CAD，∴∠BAC＝∠BAD. ∵AC＝AD，AB＝AB，∴△ABC≌△ABD(SAS)，∴BC＝BD. * 中考备战 如图，P是∠MON的平分线上一点，AP⊥OP于点P，延长AP交ON于点B.则 △AOB是等腰三角形． 角平分线＋垂线构造等腰三角形 * 中考备战 【模型分析】构造此模型可以利用等腰三角形的“三线合一”，也可以得 到两个全等的直角三角形，进而得到对应边、对应角相等．这个模型巧 妙地把角平分线和“三线合一”联系了起来． * 中考备战 例3 (2020·湘西)已知∠AOB，作∠AOB的平分线OM，在射线OM上截取线 段OC，分别以点O，C为圆心，大于 OC的长为半径画弧，两弧相交于点 E，F.画直线EF，分别交OA于点D，交OB于点G.那么△ODG一定是( ) A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．等腰三角形 D．直角三角形 * 中考备战 【思路分析】根据题意知EF垂直平分OC，设EF交OC于点N，由此证明 △OND≌△ONG，即可得到OD＝OG，由此得到答案． 【规范解答】由题意知，∴EF垂直平分OC. 设EF交OC于点N，∴∠ONE＝∠ONF＝90°. ∵OM平分∠AOB，∴∠NOD＝∠NOG. 又∵ON＝ON，∴△OND≌△ONG(ASA)，∴OD＝OG， ∴△ODG是等腰三角形．故选C. * 中考备战 如图，P是∠MON的平分线上一点，过点P作PQ∥ON，交OM于点Q，则 △POQ是等腰三角形． 【模型分析】有角平分线时，常过角平分线上一点作角的一边的平行 线，构造等腰三角形，为证明结论提供更多的条件，体现了角平分线与 等腰三角形之间的密切关系． 角平分线＋平行线 * 中考备战 例4 如图，在▱ABCD中，AB＝2，∠ABC的平分线与∠BCD的平分线交于点 E，若点E恰好在边AD上，则BE2＋CE2的值为 ． 【思路分析】根据平行线的性质和角平分线的性质，得到∠BEC＝ 90°，然后利用勾股定理，即可求出答案． * 中考备战 【规范解答】在▱ABCD中，CD＝AB＝2，AD＝BC， AD∥BC，AB∥CD， ∴∠AEB＝∠CBE，∠DEC＝∠BCE，∠ABC＋∠DCB＝180°. ∵BE，CE分别是∠ABC和∠DCB的平分线， ∴∠ABE＝∠CBE，∠DCE＝∠BCE， ∴∠AEB＝∠ABE，∠DEC＝∠DCE，∠CBE＋∠BCE＝90°， ∴AE＝AB＝2，DC＝DE＝2，∠BEC＝90°， ∴AD＝2＋2＝4，∴BC＝AD＝4. 在Rt△BCE中，由勾股定理得BE2＋CE2＝BC2＝42＝16. * $