专题1.15 导数-存在性问题-【挑战满分】2022年高考数学解答题专项训练（新高考地区专用）

专题1.15 导数-存在性问题 1．高考对本部分的考查一般有三个层次： （1）主要考查求导公式，求导法则与导数的几何意义； （2）导数的简单应用，包括求函数的单调区间、极值、最值等； （3）综合考查，如零点、证明不等式、恒成立问题、求参数等，包括解决应用问题，将导数内容和传统内容中有关不等式、数列及函数单调性有机结合，设计综合题． 2．存在性问题的解法 （1）若在区间D上有最值，则 能成立：；． （2）若能分离常数，即将问题转化为（或），则 能成立：；； 1．函数， （1）讨论的单调性； （2）是否存在，使的不同零点个数为2，且零点，满足：？存在则求出的值，不存在，则说明理由． 【试题来源】广西2022届高三开学联考 【答案】（1）答案不唯一，具体见解析；（2）不存在，理由见解析． 【解析】（1）， 若，则，；单调递增； 若则，当，或时，，单调递增； 当，，单调递减； （2）的不同零点个数为2，且零点，满足：， ， ， ． 由（1）知，要使有两个不同的零点，则需， 所以与矛盾． 所以不存在符合题意的． 2．已知函数． （1）讨论的单调性； （2）若只有1个零点，且，求的取值范围； （3）当时，是否存在正整数k，使得关于x的方程有解？如果存在，求出k的值；如果不存在，说明理由． 【试题来源】备战2022年高考数学典型试题解读与变式 【答案】（1）答案不唯一，具体见解析；（2）；（3）存在；． 【解析】（1）， 当时，，所以在上是增函数； 当时，令，解得或； 令，解得， 所以在，和，是增函数，在，是减函数． 当时，令，解得或； 令，解得， 所以在，和，是增函数，在，是减函数； （2）由（1）可知，当时，在上是增函数， 因为且，， 所以只有1个零点，且，符合题意； 当时，需要满足： ，即， 解得或； 当时，需要满足： 即解得． 综上所述，的取值范围是； （3）当时，， ， 因为，所以， 因为，所以存在，使得关于的方程有解． 3．已知函数． （1）当时，证明函数在区间上只有一个零点； （2）若存在，使不等式成立，求的取值范围． 【试题来源】黑龙江省双鸭山市第一中学2021-2022学年高三上学期期末考试 【答案】（1）证明见解析，（2）或 【解析】（1）当时，， 令， 所以在上为增函数， 因为， 所以，使， 所以当时，；当时，， 因此，在上为减函数，在 上为增函数， 当时，，当时，， 故函数在上只有一个零点． （2）当时，，由（1）可知，，即， 所以当时，，在上为减函数， 当时，，在 上为增函数， 所以， 由，知， 设，则， 所以在上为减函数， 又， 所以当时，，当时，， 所以存在，使不等式成立，此时； 当时，由（1）知，在上为减函数，在上为增函数， 所以，所以不存在，使不等式 成立， 当时，取，即，所以， 所以存在，使不等式 成立， 综上所述，的取值范围是或． 4．已知函数，． （1）若在处与直线相切，求出实数、的值以及的单调区间； （2）若，是否存在实数，当时，不等式有解？若存在，求出实数的取值范围，若不存在，说明理由． 【试题来源】重庆市长寿区2022届高三上学期期末 【答案】（1），，单调递增为，单调递减为； （2）存在，的取值范围是 【解析】（1），依题意， ，得m＝－1，n＝2， 所以，令，得－2＜x＜1， 又函数的定义域是， 所以函数的单调递增为，单调递减为． （2）当n＝2时，， 令，得，又函数的定义域是， 所以函数在上单调递增，在上单调递减． 即函数在上单调递减， 又，令，得0＜x＜e，所以在上单调递增． 当时，不等式有解， 等价于，即，得，． 所以存在m的值符合条件，且m的范围是． 5．已知函数为自然对数的底数． （1）当时，证明：函数只有一个零点； （2）若函数存在两个不同的极值点，求实数a的取值范围． 【试题来源】2022年高考数学二轮复习讲练测（新教材新高考地区专用） 【答案】（1）证明见解析，（2） 【解析】（1）由题知， 令，则． 当时，，所以在上单调递减． 因为，所以在上单调递增，在上单调递减． 所以，故函数只有一个零点． （2）由（1）知不合题意，则． 若，因为当时，；当时，， 又，所以． 因为， 设函数，则，， 所以，即． 所以存在，满足． 所以当时，；当时，；当时，． 此时存在两个极值点，符合题意． 当时，因为时，，时，，所以． 所以，即在上单调递减． 所以无极值点，不合题意． 综上可得，实数a的取值范围为． 6．已知函数，． （1）若，求的取值范围； （2）求证：存在唯一极大值点，且知； （3）求证：． 【试题来源】重庆市巴蜀中学2022届高三上学期高考适应性月考（三） 【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）证明见解析． 【解析】（1）由，可得恒成立， 令，则， 当时，，则在上单调递增