专题1.16 导数-不等式的证明-【挑战满分】2022年高考数学解答题专项训练（新高考地区专用）

专题1.16 导数-不等式的证明 1．高考对本部分的考查一般有三个层次： （1）主要考查求导公式，求导法则与导数的几何意义； （2）导数的简单应用，包括求函数的单调区间、极值、最值等； （3）综合考查，如零点、证明不等式、恒成立问题、求参数等，包括解决应用问题，将导数内容和传统内容中有关不等式、数列及函数单调性有机结合，设计综合题． 2．利用导数证明不等式问题，方法如下： （1）直接构造函数法：证明不等式（或）转化为证明（或），进而构造辅助函数； （2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论； （3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数． 1．已知函数． （1）若函数有极值，求实数的取值范围； （2）当时，若函数在，处导数相等，证明：． 【试题来源】THUSSAT中学生标准学术能力诊断性测试2021-2022学年高三上学期1月月考 【答案】（1）；（2）证明见解析． 【解析】（1）由题设，且， 当时，即在单调递增，此时无极值，不合题意； 当时，当有，单调递增， 当有，单调递减， 当时，函数取得极小值，故． （2）当时，则， 又，，即， 又，化简可得， 由， ，由可得， ，即， ，得证． 2．已知函数． （1）若函数为增函数，求实数的取值范围； （2）求证：当时，． 【试题来源】四川省南充高级中学2021-2022学年高三第六次月考 【答案】（1），（2）证明见解析 【解析】（1）因为，所以， 由函数为增函数，则恒成立，    即在R上恒成立， ，    即实数的取值范围是 （2）由（1）知当时，为增函数， 当时，， 要证当时，，只需证当时，， 即证在上恒成立， 设，则， 令解得， 在上单调递减，在上单调递增， ， 成立， 故当时，． 3．已知函数，曲线在点处的切线方程为． （1）求a，b的值； （2）证明：． 【试题来源】青铜鸣2021-2022学年高三上学期12月大联考 【答案】（1），（2）证明见解析 【解析】（1）由题意， 所以，           又，           所以， 所以． （2）证明：由（1）得，，， 则即．           设函数，则， 当时，，所以单调递增， 故，即，           故．           设，则， 当时，单调递减； 当时，单调递增， 所以，即，                     故，故， 所以， 故． 4．已知函数，． （1）若，求函数的单调区间； （2）若，且，证明：． 【试题来源】河南省许昌市2021-2022学年高三下学期高中毕业班（二模）阶段性测试（四） 【答案】（1）单调递增区间为，无单调递减区间，（2）证明见解析 【解析】（1）依题意，． 令，则， 当时，，当时，， 故函数在上单调递减，在上单调递增， 则，即， 故函数的单调递增区间为，无单调递减区间． （2）要证，即证． 依题意，、是方程的两个不等实数根，不妨令， 因为，故， 两式相加可得， 两式相减可得， 消去，整理得，故， 令，故只需证明，即证明， 设，故， 故在上单调递增， 从而，因此． 故原不等式得证． 5．已知，， （1）若恒成立，求的最大值 （2）若，是的两个零点，且求证： 【试题来源】辽宁省丹东市五校2020-2021学年高三上学期联考 【答案】（1），（2）证明见解析 【解析】（1），， 设，则恒成立恒成立， 易知符合要求，下面考虑的情形， 由，得时，；时，， 因此，在区间上为减函数，在上为增函数， 故的最小值为， 由，得，解得， 所以的最大值为． （2）由（1）知，，是的两个零点， 结合的单调性可知，， 若，则显然成立， 若，设（）， 则，， 所以，在区间上为增函数，因此有， 因此，，， 又，，且在区间上为减函数， 所以，，即． 综上，． 6．已知函数． （1）讨论的单调性； （2）当时，求证： 【试题来源】安徽省六校教育研究会2022届高三下学期2月第二次联考 【答案】（1）答案见解析，（2）证明见解析 【解析】（1）由已知条件得函数的定义域为， ， ①当时，即，在上，，在上，， 故在上为单调递增，在上为单调递减； ②当时，即，在上，，在上，，在上，， 故在上为单调递减，在上为单调递增，在上为单调递减； ③当时，即，在上，， 故在上是单调递减； ④当，即，在上，，在上，，在 上，， 故在上是单调递减，在上是单调递增，在上是单调递减． （2）当时， 要证原式成立，需证成立， 即需证成立， 令，则， 令，则，故在上单调递增，，，由零点存在性定理可知，存在使， 则在上，在上， 即在上，在上， 则在上单调递减，在单调递增，在处取得最小值， 由可得，即， 两边同取对数，即， 的最小值为， 即成立， 故当时，成立． 7．