专题1.14 导数-恒成立问题-【挑战满分】2022年高考数学解答题专项训练（新高考地区专用）

专题1.14 导数-恒成立问题 1．高考对本部分的考查一般有三个层次： （1）主要考查求导公式，求导法则与导数的几何意义； （2）导数的简单应用，包括求函数的单调区间、极值、最值等； （3）综合考查，如零点、证明不等式、恒成立问题、求参数等，包括解决应用问题，将导数内容和传统内容中有关不等式、数列及函数单调性有机结合，设计综合题． 2．恒成立问题的解法： （1）若在区间D上有最值，则 恒成立：；； （2）若能分离常数，即将问题转化为（或），则 恒成立：；； 1．已知，设函数． （1）讨论函数的单调性； （2）若恒成立，求实数a的取值范围． 【试题来源】四川省树德中学2021-2022学年高三下学期开学考试 【答案】（1）答案见解析，（2）. 【解析】（1），且； ① ，，单调递增： ② ，，单调递减： ③ ，， 时，，单调递减； 时，，单调递增； （2），由定义域可知， 即，令， 则，令，可得， 当时，，由于的定义域为， ，则在单调递减， 则只需满足，所以，解得，所以； 当时，时，，时， 可得在单调递增，在单调递减， 则， 整理可得， 令，则， 时，，时， 则可得在单调递增，在单调递减， 则，故时，恒成立， 综上，. 2．已知函数． （1）当时，求的单调区间； （2）若，不等式恒成立，求实数a的取值范围． 【试题来源】广东省梅县东山中学、广州五中、珠海二中、佛山三中四校2022届高三下学期第二次联考 【答案】（1）在上单调递减，在上单调递增；（2）． 【解析】（1）， 因为，所以是的一个零点． 又令，，则，，时， 所以在，单调递减；在单调递增 （2）不等式在R上恒成立， 即不等式恒成立． 令，则等价于不等式恒成立， ①若，不等式（*）显然成立，此时 ②若时，不等式（*）等价于 设，当时，， 令，则，， 因为，所以在上单调递减，在单调递增， 所以， 所以，在单调递增，，所以 综上所述，满足题意的实数a的取值范围为． 3．设函数． （1）若曲线在点处的切线斜率为1，求实数的值； （2）求的单调区间； （3）若，为整数，且当时，恒成立，求的最大值． 【试题来源】北京师范大学附属实验中学2022届高三下学期摸底考试 【答案】（1），（2）答案见解析，（3）最大值为2 【解析】（1）由已知条件得， 在点处的切线斜率为，即， （2）的定义域为， ， 若，则，则在上单调递增； 若，由得，由得， 则单调递增区间为，单调递减区间为； （3）由得， 整理得， 当时，，即 令，则． 令，由（2）知，函数在上单调递增， 其中，， 因为由零点存在性定理可知在上存在唯一的零点，即， 所以在上，在上， 所以在上，在上， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以在上的最小值为， 因为，所以，即， 所以，且为整数， 所以的最大值． 4．已知函数． （1）讨论的单调性； （2）若对于任意恒成立，求实数a的取值范围． 【试题来源】山东省菏泽市2022届高三一模 【答案】（1）当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增；（2） 【解析】（1） ①当时，，在上单调递增； ②当时，令，， 当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增； （2）由，得，对于任意恒成立， 因此， 记，由，得， 当时，单调递减，当时，单调递增， 所以，因此； 记，易知在调递减，所以， 所以； 综上，． 【名师点睛】导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理． 5．已知函数，． （1）讨论f（x）的单调性； （2）当a=1时，若不等式恒成立，求m的取值范围． 【试题来源】河南省名校联盟2021-2022学年高三下学期2月大联考 【答案】（1）答案见解析，（2） 【解析】（1）的定义域为， ， 当时，，f（x）单调递减； 当a>0时，令，解得， 所以当时，，f（x）单调递减， 当时，，f（x）单调递增， 综上，当时，f（x）在上单调递减；当a>0时，f（x）在上单调递减，在上单调递增． （2）当a=1时，， 所以不等式恒成立等价于在恒成立， 即只需， 记，则， 当时，，所以h（x）单调递减，当时，，所以h（x）单调递增，所以，所以，即，当且仅当x=0时取等号． 因为，当且仅当时取等号． 所以，从而，所以， 所以，所以m的取值范围为． 6．已知函数． （1）讨论的单调性； （2）当x>1时，恒成立，求a的取值范围． 【试题来源】河南省名校联盟2021-2022学年高三下学期3月大联考 【答案】（1）答案见解析；（2）． 【解析】（1）函数的定义域为，求导得， 当a=0时，恒成立，则在上单调递增， 当时，令得，，则在上单调递减， 令，得，则