第11章专题提优6 余弦定理、正弦定理的实际应用问题-2021-2022学年新教材高中数学必修第二册【学霸题中题】苏教版

7.10.6每折：C:号空108=129 所以由正弦定理可得，AB BC sin∠ACB sin∠BAC 由sa4ic2 usin=5oe 1 4ac=155,得ac=60. 即40B ,解得BC=40√2km 12 由余弦定理，得b2=a2+c2-2acc0sB=(a+c)2-2ac(1+cos120)= 22 (30-b)2-60,解得b=14, 所以这时船与灯塔的距离为40W2km a+c=16.a,c是方程x2-16x+60=0的两根 3.600解析：因为∠MAD=45°，∠CAB=60°， 解得a=10或a=6,: (c=6 c=10△ABC的三边长分别为14,10,6. 所以∠MAC=180°-45°-60°=75°， 所以∠MCA=180°-75°-60°=45° 18.解：若选①，则由正弦定理知 因为WAsin45°=MD=400m, 3 cos C(sin Acos B+sin Beos A)=sin Csin C, 所以MA=400W2m. 3cos Csin(A+B)=sin Csin C=tan C.C= 3 因为、4C AM sin60°sin45o’ 若选②，则由正弦定理知 所以AC=4005m, sin Asin -C C CC 2sin Csin A,eos 2-sin C=2sin 2 cos2 所以BC=ACsin60°=4003×)=600(m). 4.解：(1)设运动员游泳的速度为x千米/时， 由余弦定理可知()2=22+(4t)2-2×2×41c0s30° 若选③，则由正弦定理知 (b-a)2=c2-ab, 化商可得816=4什5)）广4 .b2+a2-c2=ab,由余弦定理知cosC= 2,C=T Γ3 因为0<≤1，所以≥1， 2T ∴.A+B= 3 则当=5，即1=时取得最小值，此时=2， AB=A(4） 所以为保证在1小时内（含1小时）能与小船相遇，运动员游泳速 度的最小值为2千米/时. =sin A.3 1 2 c0s 4+2 sin A (2)运动员游泳时间为(t-m)小时，运动员在岸边跑步的速度为 4千米/时，在水中游泳的速度为2千米/时， 2sinA·cosA+7sim/-3 m24+1-m24) 由余弦定理可知[2(t-m)]2=(4m)2+(t)2-2×4m×tc0s30°， 整理化简可得12(）厂+(8-43)+2-4=0， 设k=m,k∈(0,1)， 则上式可化为12k2+(8-43)k+2-4=0在(0,1)内有解 当A=行时，sinA·sinB的最大值是 则4=(8-45)2-4×12×(2-4)≥0， 3 4 43 解得0<≤ 3 专题提优6正、余弦定理的实际应用问题 1.C解析：在△ABC中，因为∠CAD=15°，∠CBD=45°， 当4时.代人方程可解得=写满足e(0., 3 所以∠CBA=135°，∠ACB=30° 又AB=50m,CD=25m, 所以小船在能与运动员相遇的条件下，的最大值为4 3 sim159=sim(450-30)=sin450cs30-cs45sin30°=y6-2 4 5解：（在△0v中，∠04=m号(o石）-受-， BC AB 由正弦定理得 sin LBAC sin LACB 所以OW OA Tsin∠ONWA .BC=ABsin BAC_50sin 15 =25(6-√2)m. sin∠ACB sin30° 即ON= OA 3 在△BCD中，因为∠CBD=45°，CD=25m, sin 由正弦定理得，BC CD ( sin L BDCsinL CBD 所以ON= 35 所以sim∠BDC=BCsin /CBD 25(6-2)x2 2 =3-1, CD 25 (2)在△0v中，sm∠0i=n(号0） 因为+∠ADE= 2， 所以由正弦定理，得O1 T 所以cos0=c0s2 ∠ADE T =sin∠BDC=3-1, sin 3 s() 故选C. 3sin3 所以OM=- 35 2.402解析：由题意可得，∠BAC=45°，AB=40km,∠ABC=105°， 所以∠ACB=30°， 必修第二册·SJ·045 35 所以SAO=2ON·OM·sin石=7 33 6 2c0s0 在m△C0E中，CD=CEx号-63x号-27， 在△ACD中，∠CAD=48°-37°，∠ADC=37°+90° AC CD 由正弦定理得 in(37°+90°)sin(48°-37°) 所以4C=27×sin(37°+90°） 27×c0s37° sin(48°-37°）sin(48°-37) iy=cos 0sin0+=cos 62 sin 3 1 2c0s0 在R△ABC中，AB=4C·sin48°=27Xc37xsim480 sin(48-3