2.4.1 空间直线的方向向量和平面的法向量（作业）-【上好课】2021-2022学年高二数学同步备课系列（湘教版新教材选择性必修第二册）

2.4.1 空间直线的方向向量和平面的法向量 一.单项选择题(在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.) 1.若,在直线上,则直线的一个方向向量为 A. B. C. D. 2.若是平面的一个法向量,则下列向量能作为平面的法向量的是 A. B. C. D. 4.已知平面内有一点,平面的一个法向量为,则下列四个点中在平面内 的是 A. B. C. D. 5.如图,在正方体中,以为原点建立空间直角坐标系,为的中点,为 的中点,则下列向量中,能作为平面的法向量的是 A. B. C. D. 6.(多选题)在如图所示的坐标系中,为正方体,则下列结论中正确的是 A.直线 的一个方向向量为 B.直线的一个方向向量为 C.平面的一个法向量为 D.平面的一个法向量为 二.填空题(每小题5分). 7.若向量,都是直线的方向向量,则 . 8.在空间直角坐标系中,已知平面的一个法向量是,且平面过点.若 是平面上任意一点,则点的坐标满足的方程是 . 9.已知,,,则平面的一个法向量是 . 10.已知直线的一个方向向量为,且过点.若平面过直线与点, 则平面的一个法向量是 . 三、解答题(解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.) 11.四边形是直角梯形,,,平面,,, 建立适当的空间直角坐标系,并求平面和平面的法向量. 12.如图,在长方体中,为棱的中点,点在长方体的面内,且 平面.试探讨点的确切位置. 原创精品资源学科网独家享有版权,侵权必究!1 学科网(北京)股份有限公司 $2.4.1 空间直线的方向向量和平面的法向量 一．单项选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．若，在直线上，则直线的一个方向向量为 A． B． C． D．　　　　　　　　　　　　　　　　 【答案】C 【解析】依题意，直线的一个方向向量为．故选C． 2．若是平面的一个法向量，则下列向量能作为平面的法向量的是 A． B． C． D．　　　 【答案】D 【解析】因为，所以，所以也为平面的法向量．故选D． 4．已知平面内有一点，平面的一个法向量为，则下列四个点中在平面内 的是 A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设，所以． 又，所以，即． 经验证满足上述方程．故选A． 5．如图，在正方体中，以为原点建立空间直角坐标系，为的中点，为 的中点，则下列向量中，能作为平面的法向量的是 A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设正方体棱长为，则， 所以．设平面的一个法向量， 则 ，取，得，所以是平面的一个法向量． 因此可得，只有B选项的向量是平面的法向量．故选B． 6．(多选题)在如图所示的坐标系中，为正方体，则下列结论中正确的是 A．直线 的一个方向向量为 B．直线的一个方向向量为 C．平面的一个法向量为 D．平面的一个法向量为 【答案】ABD 【解析】设正方体棱长为，则， 所以，故选项A正确；，故选项B正确； 因为平面即为坐标平面，所以与轴平行的向量均为它的法向量，故选项C错误； 所以．设平面的一个法向量， 则 ，取，得，所以是平面的一个法向量． 故选项D正确．故选ABD． 二．填空题（每小题5分）． 7．若向量，都是直线的方向向量，则　　　　．  【答案】 【解析】因为，都是直线的方向向量，所以．因此，解得， 所以． 8．在空间直角坐标系中，已知平面的一个法向量是，且平面过点．若 是平面上任意一点，则点的坐标满足的方程是　　 　　．  【答案】 【解析】因为，又， 所以，即． 9．已知，，，则平面的一个法向量是　　 　　． 【答案】答案不唯一，平面的法向量是(其中为非零实数)； 【解析】依题意，得，．设平面的一个法向量， 则 ，取，得，所以是平面的一个法向量． 10．已知直线的一个方向向量为，且过点．若平面过直线与点， 则平面的一个法向量是　　 　　． 【答案】答案不唯一，平面的法向量是(其中为非零实数)； 【解析】依题意，得．设平面的一个法向量， 则 ，取得，，所以是平面的一个法向量． 三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 11．四边形是直角梯形，，，平面，，， 建立适当的空间直角坐标系，并求平面和平面的法向量． 【答案】详见解析． 【解析】依题意，可知，，是三条两两垂直的线段，所以以为原点，以，，的方向分别为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示， 则， 所以是平面的一个法向量． 因为， 设平面的一个法向量， 则