专题1.13 导数-零点问题-【挑战满分】2022年高考数学解答题专项训练（新高考地区专用）

专题1.13 导数-零点问题 1．高考对本部分的考查一般有三个层次： （1）主要考查求导公式，求导法则与导数的几何意义； （2）导数的简单应用，包括求函数的单调区间、极值、最值等； （3）综合考查，如零点、证明不等式、恒成立问题、求参数等，包括解决应用问题，将导数内容和传统内容中有关不等式、数列及函数单调性有机结合，设计综合题． 2．利用导数解决函数的零点问题时，一般先由零点的存在性定理说明在所求区间内至少有一个零点，再利用导数判断在所给区间内的单调性，由此求解． 3．利用导数解决函数零点问题的方法： （1）先求出函数的单调区间和极值，根据函数的性质画出图象，然后将问题转化为函数图象与轴交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合的思想和分类讨论的思想； （2）构造新函数，将问题转化为研究两函数的图象的交点问题； （3）分离参变量，即由分离参变量，得，研究直线与的图象的交点问题． 1．已知函数，． （1）讨论函数的单调性； （2）若函数在上恰有两个零点，求实数a的取值范围． 【试题来源】2022届高三数学新高考信息检测原创卷（五） 【答案】（1）答案见解析；（2）． 【解析】（1）函数的定义域为， ． 令，解得或． 当时，当时，，当时，； 当时，当时，， 当时，，当时，； 当时，恒成立（当且仅当时取等号）； 当时，当时，， 当时，，当时，． 综上，当时，函数在上单调递减，在上单调递增； 当时，函数在上单调递增， 在上单调递减，在上单调递增； 当时，函数在上单调递增； 当时，函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增． （2）由（1）知，当时，函数在上单调递增， 所以函数至多有一个零点，不合题意． 当时，函数在上单调递减， 所以函数至多有一个零点，不合题意． 当时，函数在上单调递减，在上单调递增， 要使函数在上恰有两个零点， 则必有即且，且， 解得． 综上，函数在区间恰有两个零点，则实数a取值范围为 2．已知函数． （1）求证：； （2）若函数无零点，求a的取值范围． 【试题来源】四川省泸州市2022届高三第二次教学质量诊断性考试 【答案】（1）证明见解析；（2）． 【解析】（1）， 则当时，，当时，， 故在上为增函数，在上减函数， 故即． （2），故， 当时，在定义域上无零点； 当时，，故， 所以当时，，当时，， 故在上为增函数，在上减函数， 因为函数无零点，故，即； 当时，因为，所以，即， 所以在定义域上无零点． 综上，的取值范围是． 3．已知函数． （1）当时，求的单调区间； （2）讨论零点的个数． 【试题来源】山东省大教育联盟学校2021-2022学年高三下学期收心考试（开学考试） 【答案】（1）增区间为和，减区间为 （2）时，有一个零点；时，有两个零点；时，有三个零点 【解析】（1）当函数的定义域为． 当时，，则， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以在上为减函数，在上为增函数； 当时，，则， 所以在上为增函数． 综上可得，函数的增区间为和，减区间为． （2）①当时，，可知在上为增函数， 因为，， 所以在上有一个零点，此时在上有一个零点． ②当时，，则， 若，则，所以在上为增函数， 于是，此时在上没有零点． 若，则；， 所以在上是减函数，在上是增函数， 所以． （ⅰ）若，则，此时在上没有零点． （ⅱ）若，则，此时在上有一个零点． （ⅲ）若，则，因为， 所以在上有一个零点； 由，可得， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减， 所以，所以（当且仅当时取等号）， 则， 所以在上有一个零点．此时在上有两个零点． 综上可得，当时，有一个零点；当时，有两个零点； 当时，有三个零点． 4．已知函数． （1）若，讨论的单调性； （2）若，是函数的两个不同的零点，证明：． 【试题来源】山东省临沂市2022届高三下学期一模考试 【答案】（1）在上递减，在上递增，（2）证明见解析 【解析】（1）的定义域为，， 当时，，令，则， 当时，，当时，， 所以在上递减，在上递增， （2）因为，是函数的两个不同的零点， 所以，，显然，则有 ，， 所以，不妨令，设， 所以，所以要证， 只要证，即， 令（），则， 所以在上递增，所以，所以， 因为，， 所以 要证，只要证，即， 因为，所以只要证， 即，即， 令，则， 所以在上递减，所以，所以， 综上，. 【名师点睛】此题考查导数的综合应用，考查利用导数求函数的单调区间，考查利用导数证明不等式，解题的关键是由已知可得，，设，再转化，然后相加化简后，构造函数利用导数证明即可，考查数学转化思想和计算能力，属于较难题 5．已知函数f(x)＝lnx＋＋ax(a∈R)，g(x)＝＋． （1）讨论f(x)的单调性； （2）如果函数F(x)＝f(x)－g(x)存在零点，求实数a的最小值．