专题1.12 导数-极值、最值问题-【挑战满分】2022年高考数学解答题专项训练（新高考地区专用）

专题1.12 导数-极值、最值问题 1．高考对本部分的考查一般有三个层次： （1）主要考查求导公式，求导法则与导数的几何意义； （2）导数的简单应用，包括求函数的单调区间、极值、最值等； （3）综合考查，如零点、证明不等式、恒成立问题、求参数等，包括解决应用问题，将导数内容和传统内容中有关不等式、数列及函数单调性有机结合，设计综合题． 2．函数极值问题的常见类型及解题策略 （1）函数极值的判断：先确定导数为0的点，再判断导数为0的点的左、右两侧的导数符号． （2）求函数极值的方法： ①确定函数的定义域． ②求导函数． ③求方程的根． ④检查在方程的根的左、右两侧的符号，确定极值点．如果左正右负，那么在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么在这个根处取得极小值；如果在这个根的左、右两侧符号不变，则在这个根处没有极值． （3）利用极值求参数的取值范围：确定函数的定义域，求导数，求方程的根的情况，得关于参数的方程(或不等式)，进而确定参数的取值或范围． 3．求函数f(x)在[a,b]上最值的方法 （1）若函数f(x)在[a,b]上单调递增或递减，f(a)与f(b)一个为最大值，一个为最小值． （2）若函数f(x)在区间(a,b)内有极值，先求出函数f(x)在区间(a,b)上的极值，与f(a)、f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值． （3）函数f(x)在区间(a,b)上有唯一一个极值点时，这个极值点就是最大(或最小)值点． 注意：（1）若函数中含有参数时，要注意分类讨论思想的应用． （2）极值是函数的“局部概念”，最值是函数的“整体概念”，函数的极值不一定是最值，函数的最值也不一定是极值．要注意利用函数的单调性及函数图象直观研究确定． 1．已知函数． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）证明：在上存在最大值和最小值． 【试题来源】河南省濮阳市2021-2022学年高三下学期开学摸底考试 【答案】（1）,（2）证明见解析 【解析】（1）因为，所以， 所以，． 所以曲线在点处的切线方程为． （2）， 令，则在上单调递增． 因为，， 所以存在唯一的，使得， 所以在上单调递减，在上单调递增． 因为， ，， 所以存在，，使得，， 所以在，上分别成立，在上成立， 所以在，上分别单调递增，在上单调递减， 故在上有极大值，极小值． 因为，， 所以在上存在最大值，最小值 2．已知函数． （1）当时，求的极值； （2）若在上的最小值为，求． 【试题来源】云南省师范大学附属中学2022届高三高考适应性月考卷（七） 【答案】（1）极小值，无极大值；（2）或 【解析】（1）当时，，． 当时，；当时，． 所以在处取极小值，无极大值． （2）由题得，． ①当时，，，故，在上单调递增． 所以，解得（舍去）． ②当时，，，且在上单调递增， 故在上有唯一零点，且． 当，，单调递减； 当，，单调递增． 所以， 即，解得，或，． 综上，的值为或． 3．已知函数． （1）讨论的导函数零点的个数； （2）若的最小值为e，求a的取值范围． 【试题来源】2022届高三数学新高考原创试题 【答案】（1）答案见解析；（2）． 【解析】（1）， 令，则，故在上单调递增，而， 当时，无解； 当时，由，，故有一个在上的解； 当时，由，故的解为1； 当时，由，，故有一个在上的解； 综上，当或时，导函数只有一个零点． 当或时，导函数有两个零点． （2）当时，，则函数在处取得最小值． 当时，由（1）知在上单调递增，则必存在正数使得． 若则，在上，则，在上，则，在上，则， 所以在和上单调递增，在上单调递减，又，不合题意． 若则，在上，则在上单调递增， 又，不合题意． 若则，在上， 则，在上，则，在上，则， 所以在和上单调递增，在上单调递减，则， 解得，即． 综上，． 4．已知函数． （1）若，证明：当时，； （2）令，若是极大值点，求实数a的值． 【试题来源】山东省日照市2022届高三模拟考试（一模） 【答案】（1）证明见解析；（2）． 【解析】（1）由题意知，函数的定义域为， 当时，，， 当时，，所以， 即当时，函数单调递增， 又，故在上恒成立，即证； （2）函数的定义域为， ， 所以， 又为的极大值，所以且周围是单调递减的趋势， 要使单调递减，需在上恒成立， ，且， 所以需在上单调递增，在上单调递减， 即当时，，当时，， 且，又， 所以，解得； 当时，恒成立，即在上单调递减， 又，所以为的极大值， 综上，． 5．已知函数． （1）当时，求的单调区间； （2）若函数恰有两个极值点，记极大值和极小值分别为，，求证：为常数． 【试题来源】江西省南昌市2022届高三第一次模拟测试 【答案】（1）单调递增区间为，，的单调递减区间为 （2）证明见解析 【解析】（1）当时，， 令，可