专题17.1 勾股定理-《讲亮点》2021-2022学年八年级数学下册教材同步配套讲练（人教版）

《讲亮点》2021-2022学年八年级数学下册教材同步配套讲练《人教版》 专题17.1 勾股定理 【教学目标】 1、用勾股定理解三角形 2、勾股定理与折叠问题 3、用勾股定理解决问题 【教学重难点】 1、用勾股定理解三角形 2、勾股定理与折叠问题 3、用勾股定理解决问题 【知识亮解】 知识点一:勾股定理 1.勾股定理:直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.如果用 , , 分别表示直角三角形的两直角边和斜边,那么 . 数学小史:勾股定理是我国最早发现的,中国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾, 较长的直角边称为股,斜边称为弦,“勾股定理”因此而得名.(在西方文献中又称为毕达 哥拉斯定理)。据《周髀算经》记载,公元前1000多年就发现“勾三股四弦五”的结论。 2.。注意:(1)“直角三角形”是勾股定理的前提条件,解题时,首先看题目中有没有具备这个 条件,只有具有这个条件,才能利用勾股定理求第三条边。 (2)在应用勾股定理时要注意它的变式: (3)应用勾股定理时要分清直角三角形中的直角边和斜边,在一些直角三角形中斜边不一定是用字母 表示,只有当 时, ,若 ,则 。 (4)在实际问题中,若图中无直角,可通过添加辅助线来构造直角三角形。 2.勾股定理的验证 方法一:将四个全等的直角三角形拼成如图(1)所示的正方形. 图(1)中,所以. 方法二:将四个全等的直角三角形拼成如图(2)所示的正方形. 图(2)中,所以. 方法三:如图(3)所示,将两个直角三角形拼成直角梯形. ,所以. 知识点二:勾股定理的应用 勾股定理的作用 已知直角三角形的任意两条边长,求第三边; 用于解决带有平方关系的证明问题; 3. 与勾股定理有关的面积计算; 4.勾股定理在实际生活中的应用. 亮题一、用勾股定理解三角形 1.(2021·新疆·博尔塔拉蒙古自治州蒙古中学八年级期中)已知△ABC中,∠A= ∠B= ∠C,则它的三条边之比为( ) A.1:1: B.1: :2 C.1: : D.1:4:5 【答案】B 【解析】 【分析】 根据给出的条件和三角形的内角和定理计算出三角形的角,再计算出它们的边的比. 【详解】 解:∵∠A= ∠B= ∠C,∠A+∠B+∠C=180°, ∴∠A=30°,∠B=60°,∠C=90°, ∴c=2a,b= = a, ∴三条边的比是1: :2. 故选:B. 【点睛】 本题考查了三角形的内角和定理、含30度的直角三角形的性质以及勾股定理,通过知道角的度数计算特殊三角形边的比. 2.(2022·福建鼓楼·八年级期末)如图,直线AO⊥OB,垂足为O,线段AO=3,BO=4,以点A为圆心,AB的长为半径画弧,交直线AO于点C.则OC的长为( ) A.5 B.4 C.3 D.2 【答案】D 【解析】 【分析】 利用勾股定理求出AB,结合题意可得AC=5,从而求出结论. 【详解】 解:∵AO⊥OB,线段AO=3,BO=4, ∴在Rt△AOB中,AB= =5, 由题意可知:AC=AB=5, ∴OC=AC-AO=2, 故选择D. 【点睛】 此题考查的是勾股定理,垂线定义,线段和差,掌握利用勾股定理解直角三角形是解题关键. 3.(2022·吉林·长春市第八十七中学九年级开学考试)如图,在Rt△ABC中,∠B=90°,分别以A、C为圆心,大于 AC的长为半径画弧,两弧相交于点M、N.连接MN,与AC,BC分别相交于点D、E,连接AE,当AB=3,AC=5时,△ABE的周长为( ) A.9 B.12 C.7 D.8 【答案】C 【解析】 【分析】 先利用勾股定理可得 ,再根据线段垂直平分线的判定与性质可得 ,然后根据三角形的周长公式即可得. 【详解】 解: 在 中, , , 由题意可知, 垂直平分 , , 的周长为 , 故选:C. 【点睛】 本题考查了勾股定理、线段垂直平分线的判定与性质等知识点,熟练掌握线段垂直平分线的判定与性质是解题关键. 4.(2022·北京市第十三中学分校九年级开学考试)如图,已知 中, ,F是高 和 的交点, , ,则线段 的长度为( ) A. B.2 C. D.1 【答案】D 【解析】 【分析】 先证明△BDF≌△ADC,得到BF=AC= ,再根据勾股定理即可求解. 【详解】 解:∵ 和 是△ABC的高线, ∴∠ADB=∠ADC=∠BEC=90°, ∴∠DBF+∠C=90°,∠CAD+∠C=90°, ∴∠DBF=∠CAD, ∵ , ∴∠BAD=45°, ∴BD=AD, ∴△BDF≌△ADC(SAS), ∴BF=AC= , 在Rt△BDF中,DF= . 故选:D. 【点睛】 本题考查了全等三角形的判定与性质,等腰直角三角形的性质与判定,勾股定理等知识,证明△BDF≌△ADC是解题关键. 5.(2021·黑龙江·牡丹江四中八年级