专题训练 勾股定理 压轴题型-《讲亮点》2021-2022学年八年级数学下册教材同步配套讲练（人教版）

《讲亮点》2021-2022学年八年级数学下册教材同步配套讲练《人教版》 专题训练 勾股定理压轴题型 【题型归纳】 勾股定理压轴题型 【重难点题型】 一、单选题 1.(2022·福建鼓楼·八年级期末)如图,点A,B,C,D顺次在直线l上,等腰Rt△ACE的底边AC=m,等腰△BDF的底边BD=n,腰FB=FD= n,记△CDE与△ABF的面积的差为S,当BC的长度变化时,S始终保持不变,则m,n满足( ) A.m= n B.m= n C.m= n D.m= n 【答案】A 【解析】 【分析】 过点F作FH⊥AD于点H.过点E作EG⊥AD于G,分别利用直角三角形的性质和勾股定理求出EG和FH,然后设BC=x,分别表示出△CDE与△ABF的面积,再将二者相减得到关于x的代数式,因为x变化时,S不变,所以x的系数为0,则可得到m与n的关系式. 【详解】 解:过点F作FH⊥AD于点H,过点E作EG⊥AD于G, ∵△ACE是等腰直角三角形,AC=m, ∴EG= AC= , ∵BD=n,FB=FD= n,FH⊥AD, ∴BH= BD= , 在Rt△BHF中, FH= , 设BC=x, 则S△ABF= AB•FH= (m-x)× n,S△CDE= CD•EG= (n-x)× , ∴S△CDE-S△ABF= (n-x)× - (m-x)× n =( - )x- , ∵当BC的长度变化时,S始终保持不变, ∴ - =0, ∴m= n, 故选:A. 【点睛】 本题考查了等腰直角三角形的性质及三角形的面积计算,熟练掌握等腰三角形的相关性质是解题的关键. 2.(2022·浙江义乌·八年级期末)如图,已知长方形纸板的边长 , ,在纸板内部画 ,并分别以三边为边长向外作正方形,当边 、 和点K、J都恰好在长方形纸板的边上时,则 的面积为( ) A.6 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 延长CA与GF交于点N,延长CB与EF交于点P,设AC=b,BC=a,则AB= ,证明△ABC≌△BJK≌△JKF≌△KAN,再利用长方形DEFG的面积=十个小图形的面积和进而求得ab=12,即可求解. 【详解】 解:延长CA与GF交于点N,延长CB与EF交于点P, 设AC=b,BC=a,则AB= , ∵四边形ABJK是正方形,四边形ACML是正方形,四边形BCHI是正方形, ∴AB=BJ,∠ABJ=90°, ∴∠ABC+∠PBJ=90°=∠ABC+∠BAC, ∴∠BAC=∠JBP, ∵∠ACB=∠BPJ=90°, ∴△ABC≌△BJK(AAS), 同理△ABC≌△BJK≌△JKF≌△KAN, ∴AC=BP=JF=KN=NG=b,BC=PJ=FK=AN=PE=a, ∵DE=10,EF=11, ∴2b+a=10,2a+b=11, ∴a+b=7, ∴a2+b2=49-2ab, ∵长方形DEFG的面积=十个小图形的面积和, ∴10×11=3ab+ ab×4+a2+b2+( )2, 整理得:5ab+2(a2+b2)=110, 把a2+b2=49-2ab,代入得:5ab+2(49-2ab)=110, ∴ab=12, ∴△ABC的面积为 ab=6, 故选:A. 【点睛】 本题主要考查了全等三角形的性质与判定,勾股定理,关键是构造全等三角形和直角三角形. 3.(2022·广东三水·八年级期末)等腰 在平面直角坐标系中的位置如图所示,点 为原点, , ,把等腰 沿 轴正半轴作无滑动顺时针翻转,第一次翻转到位置①,第二次翻转到位置②,…,依此规律,第2021次翻转后点 的坐标是( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 如图,作 ,由勾股定理得 ,求出 的值,由 求出 的值,由勾股定理得 ,求出 的值,然后依据题意写出前几次 点坐标,然后推导出一般性规律,求解即可. 【详解】 解: 如图,作 由勾股定理得 ∵ ∴ 由勾股定理得 ∴由题意知,转到位置①时, 转到位置②时, 转到位置③时, 转到位置④时, 转到位置⑤时, 转到位置⑥时, 观察已有点坐标,④在①的基础上横坐标加10,纵坐标均为0;⑤在②的基础上横坐标加10,纵坐标均为 ;⑥在③的基础上横坐标加10,纵坐标均为0;可得出一般性结论,以3为周期,第 个周期的三个点坐标分别为: , , ∵ ∴2021是第674个周期中的第二个点坐标 ∴横坐标为 ,纵坐标为 ∴第2021次翻转后点B的坐标为 故选B. 【点睛】 本题考查了勾股定理,点坐标的规律探究.解题的关键与难点在于推导出一般性规律. 4.(2021·江苏江阴·八年级期中)如图,在△ABC中,AB=13,BC=14,S△ABC=84,D是BC的中点,直线l经过点D,AE⊥l,BF⊥l,垂足分别为E,F,则AE+BF的最大值为( ) A.15 B.1