17.2.2 勾股定理及其逆定理的综合应用（第2课时） 同步练习 2021—2022学年人教版数学八年级下册

17.2.2 勾股定理及其逆定理的综合应用（第2课时） 参考答案与试题解析 1．如图，在△ABC中，CD⊥AB于D，AC＝4，BC＝3，DB． （1）求CD，AD的值； （2）判断△ABC的形状，并说明理由． 【解答】解：（1）∵CD⊥AB且CB＝3，BD，故△CDB为直角三角形， ∴在Rt△CDB中，CD， 在Rt△CAD中，AD． （2）△ABC为直角三角形． 理由：∵AD，BD，∴AB＝AD+BD5， ∴AC2+BC2＝42+32＝25＝52＝AB2， ∴根据勾股定理的逆定理，△ABC为直角三角形． 2．如图，在△ABC中，D是BC上的一点，若AB＝10，BD＝6，AD＝8，AC＝17，求线段CD的长． 【解答】解：∵BD2+AD2＝62+82＝102＝AB2， ∴△ABD是直角三角形， ∴AD⊥BC， 在Rt△ACD中，． 3．如图所示，在△ABC中，CD⊥AB于D，AC＝4，BC＝3，CD （1）求AD的长； （2）求证：△ABC是直角三角形． 【解答】解：（1）∵CD⊥AB， ∴∠ADC＝90°， ∴AD； （2）证明：由上题知AD， 同理可得BD， ∴AB＝AD+BD＝5， ∵32+42＝52， ∴BC2+AC2＝AB2， ∴△ABC是直角三角形． 4．如图，正方形网格的每个小方格都是边长为1的正方形，△ABC的顶点都在格点上． （1）分别求出AB，BC，AC的长； （2）试判断△ABC是什么三角形，并说明理由． 【解答】解：（1），，； （2）△ABC是直角三角形，理由如下： ∵，AC2＝52＝25， ∴AB2+BC2＝AC2， ∴△ABC是直角三角形． 5．如图，在正方形网格中，小正方形的边长为1，点A，B，C为网格的交点． （1）判断△ABC的形状，并说明理由； （2）求AB边上的高． 【解答】解：（1）△ABC为直角三角形， 理由：由图可知， ，BC，AB5， ∴AC2+BC2＝AB2， ∴△ABC是直角三角形； （2）设AB边上的高为h， 由（1）知，，BC，AB＝5，△ABC是直角三角形， ∴， 即h， 解得，h＝2， 即AB边上的高为2． 6．如图，在△ABD中，∠A＝90°，AB＝3，AD＝4，BC＝12，DC＝13，求四边形ABCD的面积． 【解答】解：∵在△ABD中，∠A是直角，AB＝3，AD＝4， ∴BD5，………………………………3分 又∵在△BCD中，BC＝12，DC＝13， ∴BC2+BD2＝DC2，………………………………5分 ∴△BCD是直角三角形，∠CBD＝90°， ∴S四边形ABCD＝S△ABD+S△BDC………………………………7分 AD•ABBD•BC 4×35×12 ＝6+30 ＝36．………………………………9分 7．如图，有一张四边形纸片ABCD，AB⊥BC．经测得AB＝9cm，BC＝12cm，CD＝8cm，AD＝17cm． （1）求A、C两点之间的距离． （2）求这张纸片的面积． 【解答】解：（1）连接AC，如图． 在Rt△ABC中，AB⊥BC，AB＝9cm，BC＝12cm， ∴AC15（cm）． 即A、C两点之间的距离为15cm； （2）∵CD2+AC2＝82+152＝172＝AD2， ∴∠ACD＝90°， ∴四边形纸片ABCD的面积＝S△ABC+S△ACD AB•BCAC•CD 9×1215×8 ＝54+60 ＝114． 8．如图在四边形ABCD中，AB＝BC＝2，CD＝3，DA＝1，且∠B＝90°，求∠DAB的度数． 【解答】解：如右图所示，连接AC， ∵∠B＝90°，AB＝BC＝2， ∴AC2，∠BAC＝45°， 又∵CD＝3，DA＝1， ∴AC2+DA2＝8+1＝9，CD2＝9， ∴AC2+DA2＝CD2， ∴△ACD是直角三角形， ∴∠CAD＝90°， ∴∠DAB＝45°+90°＝135°． 故∠DAB的度数为135°． 9．四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝4，BC＝3，CD＝10，AD＝5． （1）证明：△ACD是直角三角形． （2）求四边形ABCD的面积． 【解答】（1）证明： 在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC2＝AB2+BC2＝42+32＝25， 即AC＝5（负数舍去）， ∵CD＝10，AD＝5， ∴AC2+CD2＝AD2， ∴△ACD是直角三角形； （2）解：S四边形ABCD＝S△ABC+S△ACD ＝6+25 ＝31． 10．如图，四边形ABCD中，∠A＝90°，AB＝AD，CD＝3，BC． （1）求∠ADC的度数． （2）求四边形ABCD的面积． 【解答】解：（1）连接BD， ∵∠A＝90°，AB＝AD， ∴∠BDA＝45°， 在Rt△ABD中，BD2， ∵CD＝3，BC， ∴BC2＝BD2+CD2， ∴∠BDC＝90°，