专题6：第 17章 勾股定理 小专题（三）利用勾股定理解决最短路径问题 同步练习 2021—2022学年人教版数学八年级下册

专题（三）利用勾股定理解决最短路径问题 参考答案与试题解析 一．选择题（共2小题） 1．如图，在锐角△ABC中，AB＝6，∠BAC＝45°，∠BAC的平分线交BC于点D，M，N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是（　　） A． B．6 C． D．3 【解答】解：如图，作BH⊥AC，垂足为H，交AD于M′点，过M′点作M′N′⊥AB，垂足为N′，则BM′+M′N′为所求的最小值． ∵AD是∠BAC的平分线， ∴M′H＝M′N′， ∴BH是点B到直线AC的最短距离（垂线段最短）， ∵AB＝6，∠BAC＝45°， ∴BH＝AB•sin45°＝63． ∵BM+MN的最小值是BM′+M′N′＝BM′+M′H＝BH＝3． 故选：C． 2．如图，盒内长、宽、高分别是6cm、3cm、2cm，盒内可放木棒最长的长度是（　　） A．6cm B．7cm C．8cm D．9cm 【解答】解：本题需先求出长和宽组成的长方形的对角线长为3cm． 这根最长的棍子和矩形的高，以及长和宽组成的长方形的对角线组成了直角三角形． 盒内可放木棒最长的长度是7cm． 故选：B． 二．填空题（共7小题） 3．如图，A（0，1）、B（3，2），点P为x轴上任意一点，则PA+PB的最小值为　3　． 【解答】解：作点A关于x轴的对称点A′．连接BA′交x轴于点P，此时PA+PB的值最小． PA+PB的最小值＝BA′3， 故答案为：3． 4．如图，在等边△ABC中，D是BC的中点，E是AB的中点，H是AD上任意一点，如果AB＝AC＝BC＝10，AD，那么HE+HB的最小值是　5　． 【解答】解： 连接EC交于AD于点H， ∵AB＝AC，BD＝DC， ∴AD⊥BC． ∴AD是BC的垂直平分线． ∴BH＝CH． ∴EH+BH＝CH+EH＝EC， ∵点E是AB中点， ∴AE＝BE＝5，CE⊥AB， ∴CE5， 故答案为：5． 5．如图，圆柱形玻璃杯高为14cm，底面周长为32cm，在杯内壁离杯底5cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿3cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短距离为　20　cm（杯壁厚度不计）． 【解答】解：如图： 将杯子侧面展开，作A关于EF的对称点A′， 连接A′B，则A′B即为最短距离，A′B20（cm）． 故答案为20． 6．如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为20dm、3dm、2dm，A和B是这个台阶上两个相对的端点，点A处有一只蚂蚁，想到点B处去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点B的最短路程为　25　dm． 【解答】解：三级台阶平面展开图为长方形，长为20dm，宽为（2+3）×3dm， 则蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程是此长方形的对角线长． 设蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程为xdm， 由勾股定理得：x2＝202+[（2+3）×3]2＝252， 解得：x＝25（dm）． 故答案为：25． 7．如图是一个边长为6的正方体木箱，点Q在上底面的棱上，AQ＝2，一只蚂蚁从P点出发沿木箱表面爬行到点Q，则蚂蚁爬行的最短路程是　10　． 【解答】解：如图所示， ∵PB＝AB＝6，AQ＝2， ∴BQ＝6+2＝8， ∴PQ10． 答：蚂蚁爬行的最短路程是10． 故答案为：10 8．如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B离点C的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是　25　． 【解答】解：如图：（1）AB25； （2）AB5； （3）AB5． 所以需要爬行的最短距离是25． 9．如图，有一个长方体的盒子，它的长、宽、高分别是4m，3m和12m，则盒内可放的木棒最长为　13　m． 【解答】解：长和宽组成的长方形的对角线长为m． 这根最长的棍子和矩形的高，以及长和宽组成的长方形的对角线组成了直角三角形． 盒内可放木棒最长的长度是m． 故答案为：13 三．解答题（共2小题） 10．如图，是一个长8m，宽6m，高5m的仓库，在其内壁的A（长的四等分点）处有一只壁虎，B（宽的三等分点）处有一只蚊子，则壁虎爬到蚊子处的最短距离为多少米． 【解答】解：①将正面和左面展开，过点B向底面作垂线，垂足为点C，则△ABC为直角三角形， ∵AC86＝8m，BC＝5m， ∴ABm． 故壁虎爬到蚊子处的最短距离为m． ②将正面和上面展开，则A到B的水平距离为6m，垂直距离为7m， 此时的最短距离为m ③将下面和右面展开，则A到B的水平距离为11m，垂直距离为2m， 此时的最短距离为5m． 综上所述，壁虎爬到蚊子处的最短距离为米． 11．阅读材料： 例：说明代数式的几何意义，并求它的最小值． 解：． 几何意义：如图，建立平面直角坐标系，点P（x，0）是x轴上一点，则可以看成点P与点A（0，1）