第 17章 勾股定理 小专题（二） 方程思想在勾股定理中的应用 同步练习 2021—2022学年人教版数学八年级下册

专题（二） 方程思想在勾股定理中的应用 参考答案与试题解析 一．选择题 1．如图是一张直角三角形的纸片，两直角边AC＝6cm、BC＝8cm，现将△ABC折叠，使点B与点A重合，折痕为DE，则CD的长为（　　） A．cm B．cm C．cm D．无法确定 【解答】解：设CD＝xcm，则BD＝BC﹣CD＝（8﹣x）cm， ∵△ABC折叠，使点B与点A重合，折痕为DE， ∴AD＝BD＝8﹣x， 在△ACD中，∠C＝90°， ∴AD2＝AC2+CD2， ∴（8﹣x）2＝62+x2，解得x， 即CD的长为cm． 故选：C． 2．如图，在直角三角形纸片ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3，点E在边BC上，将△ABE沿直线AE折叠，点B恰好落在斜边AC上的点F处，若∠EAB＝∠ECA，则AE的长是（　　） A．6 B．3 C．2 D． 【解答】解：由翻折可知，∠BAE＝∠EAF＝∠BCA＝30°， 在Rt△ABE中，AB＝3， ∵cos∠BAE＝cos30°， ∴AE＝32． 故选：C． 3．如图所示，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，CD是AB边上的高，则线段AD的长度为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：设AD＝x ∵CD⊥AB， ∴∠D＝90°， ∴CD2＝BC2﹣BD2＝AC2﹣AD2， ∴82﹣（5+x）2＝52﹣x2， ∴x， ∴AD， 故选：D． 4．如图，有一个水池，水面是一个边长为14尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面．则水的深度是（　　） A．15尺 B．24尺 C．25尺 D．28尺 【解答】解：依题意画出图形，设芦苇长AB＝AB′＝x尺，则水深AC＝（x﹣1）尺，因为B'E＝14尺，所以B'C＝7尺 在Rt△AB'C中，∵CB′2+AC2＝AB′2 ∴72+（x﹣1）2＝x2， 解得x＝25， ∴这根芦苇长25尺， ∴水的深度是25﹣1＝24（尺）， 故选：B． 5．《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高二丈，末折抵地，去根九尺，问折高者几何？意思是一根竹子，原高两丈（一丈＝10尺），一阵风将竹子折断，其竹稍恰好抵地，抵地处离竹子底部9尺远，问折断处离地面的高度是多少？设折断处离地面的高度为x尺，则可列方程为（　　） A．x2﹣9＝（20﹣x）2 B．x2﹣92＝（20﹣x）2 C．x2+9＝（20﹣x）2 D．x2+92＝（20﹣x）2 【解答】解：如图，设折断处离地面的高度为x尺，则AB＝（20﹣x）尺，BC＝9尺， 在Rt△ABC中，AC2+BC2＝AB2，即x2+92＝（20﹣x）2． 故选：D． 二．填空题 6．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，将△ABC折叠，使点B恰好落在边AC上，与点B′重合，AE为折痕，则EB′＝　1.5　． 【解答】解：根据折叠可得BE＝EB′，AB′＝AB＝3， 设BE＝EB′＝x，则EC＝4﹣x， ∵∠B＝90°，AB＝3，BC＝4， ∴在Rt△ABC中，由勾股定理得，， ∴B′C＝5﹣3＝2， 在Rt△B′EC中，由勾股定理得，x2+22＝（4﹣x）2， 解得x＝1.5， 故答案为：1.5． 7．如图所示，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，AC＝5，将△ABC折叠，使点C与点A重合，折痕为DE，则△ABE的周长为　7　． 【解答】解：∵在△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，AC＝5， ∴BC4， ∵△ADE是△CDE翻折而成， ∴AE＝CE， ∴AE+BE＝BC＝4， ∴△ABE的周长＝AB+BC＝3+4＝7． 故答案为：7． 8．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC与BC相交于点D，若BD＝4，CD＝2，则AC的长是　2　． 【解答】解：作DE⊥AB于E， ∵AD是∠BAC的平分线，∠ACB＝90°，DE⊥AB， ∴DE＝DC＝3， ∴AC＝AE， 由勾股定理得，BE2， 设AC＝AE＝x， 由勾股定理得，x2+62＝（x+2）2， 解得，x＝2， 故答案为：2． 9．△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，BD为AC边的高线，则BD的长为 　　． 【解答】解：过A作AE⊥BC于点E， ∵AB＝AC＝5，BC＝8， ∴BE＝EC＝4， ∴AE， ∵， ∴， ∴BD， 故答案为：． 10．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，BC＝6，CD⊥AB于点D，则CD的长为 　　． 【解答】解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，BC＝6， ∴AC8． ∵CD⊥AB， ∴CD． 故答案为：． 11．数学活动课上，同学们利用升旗的绳子测量旗杆的高度．如图，将绳子紧靠旗杆拉直，测得绳子比旗杆多0.5m；将绳子拉直到底