第 17章 勾股定理 小专题（一） 勾股定理及其验证 同步练习 2021—2022学年人教版数学八年级下册

专题（一） 勾股定理及其验证 参考答案与试题解析 一．选择题 1．对勾股定理的一种证法采用了如图，其中两个全等的直角三角形的边AE，EB在一条直线上证明中用到的面积相等关系是（　　） A．S△EDA＝S△CEB B．S△EDA+S△CDE+S△CEB＝S四边形ABCD C．S△EDA+S△CEB＝S△CDB D．S四边形CDAE＝S四边形CDEB 【解答】解：∵abc2ab（a+b）2， ∴c2+2ab＝a2+2ab+b2， 整理得a2+b2＝c2， 由abc2ab（a+b）2， 即S△EDA+S△CDE+S△CEB＝S四边形ABCD， ∴证明中用到的面积相等关系是， S△EDA+S△CDE+S△CEB＝S四边形ABCD， 故选：B． 2．勾股定理是历史上第一个把数与形联系起来的定理，其证明是论证几何的发端．下面四幅图中不能证明勾股定理的是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：在A选项中，由图可知三个三角形的面积的和等于梯形的面积， ∴， 整理可得a2+b2＝c2， ∴A选项可以证明勾股定理， 在B选项中，大正方形的面积等于四个三角形的面积加小正方形的面积， ∴， 整理得a2+b2＝c2， ∴B选项可以证明勾股定理， 在C选项中，大正方形的面积等于四个三角形的面积加小正方形的面积， ∴， 整理得a2+b2＝c2， ∴C选项可以说明勾股定理， 在D选项中，大正方形的面积等于四个矩形的面积的和， ∴（a+b）2＝a2+2ab+b2， 以上公式为完全平方公式， ∴D选项不能说明勾股定理， 故选：D． 3．在勾股定理的学习过程中，我们已经学会了运用如图图形，验证著名的勾股定理，这种根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称为“无字证明”．实际上它也可用于验证数与代数，图形与几何等领域中的许多数学公式和规律，它体现的数学思想是（　　） A．统计思想 B．分类思想 C．数形结合思想 D．函数思想 【解答】解：这种根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称为“无字证明”，它体现的数学思想是数形结合思想， 故选：C． 4．“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若（a+b）2＝21，大正方形的面积为13，则小正方形的面积为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【解答】解：如图所示： ∵（a+b）2＝21， ∴a2+2ab+b2＝21， ∵大正方形的面积为13， ∴a2+b2＝13， ∴2ab＝21﹣13＝8， ∴小正方形的面积为13﹣8＝5． 故选：C． 5．如图是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案，已知大正方形面积为49，小正方形面积为25，若用x，y表示直角三角形的两直角边（x＞y），请观察图案，指出以下关系式中不正确的是（　　） A．x2+y2＝49 B．x﹣y＝5 C．2xy+25＝49 D．x+y＝8 【解答】解：由题意知：， ∴x﹣y＝5，故选项A、B不符合题意． ①﹣②可得2xy＝24③． ∴2xy+25＝49，故选项C不符合题意． ①+③得x2+2xy+y2＝（x+y）2＝73， ∴x+y， 故选项D符合题意． 故选：D． 6．赵爽弦图是由4个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形（如图所示）．若小正方形和大正方形的面积分别是1和5，则直角三角形两条直角边长分别为（　　） A．2，1 B．1， C．2， D．2， 【解答】解：∵小正方形和大正方形的面积分别是1和5， ∴S△ADE，EF＝1， 设直角三角形两条直角边为a，b（a＜b）， ∴ab＝2，a2+b2＝5，b﹣a＝1， ∵（a+b）2＝a2+2ab+b2， ∴（a+b）2＝5+4＝9， ∵a+b＞0， ∴a+b＝3， ∵b﹣a＝1， ∴a＝1，b＝2， 故选：A． 7．如图是由“赵爽弦图”变化得到的，它由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNPQ的面积分别为S1、S2、S3．若S1+S2+S3＝60，则S2的值是（　　） A．12 B．15 C．20 D．30 【解答】解：设每个小直角三角形的面积为m，则S1＝4m+S2，S3＝S2﹣4m， 因为S1+S2+S3＝60， 所以4m+S2+S2+S2﹣4m＝60， 即3S2＝60， 解得S2＝20． 故选：C． 二．填空题 8．如图是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成．若较短的直角边BC＝5，将四个直角三角形中较长的直角边分别向外延长一倍，得到图示的“数学风车”，若△BCD的周长是30，则这个风车的外围周长