专题13 等腰三角形-备战2022年中考数学母题题源解密(浙江专用)

专题13 等腰三角形 考向1 等腰三角形及其性质与判定 【母题来源】(2021·浙江杭州) 【母题题文】在①AD=AE,②∠ABE=∠ACD,③FB=FC这三个条件中选择其中一个,补充在下面的问题中,并完成问题的解答. 问题:如图,在△ABC中,∠ABC=∠ACB,点D在AB边上(不与点A,点B重合),点E在AC边上(不与点A,点C重合),连接BE,CD,BE与CD相交于点F.若 ,求证:BE=CD. 注:如果选择多个条件分别作答,按第一个解答计分. 【分析】若选择条件①,利用∠ABC=∠ACB得到AB=AC,则可根据“SAS”可判断△ABE≌△ACD,从而得到BE=CD; 选择条件②,利用∠ABC=∠ACB得到AB=AC,则可根据“ASA”可判断△ABE≌△ACD,从而得到BE=CD; 选择条件③,利用∠ABC=∠ACB得到AB=AC,再证明∠ABE=∠ACD,则可根据“ASA”可判断△ABE≌△ACD,从而得到BE=CD. 【解答】证明:选择条件①的证明为: ∵∠ABC=∠ACB, ∴AB=AC, 在△ABE和△ACD中, , ∴△ABE≌△ACD(SAS), ∴BE=CD; 选择条件②的证明为: ∵∠ABC=∠ACB, ∴AB=AC, 在△ABE和△ACD中, , ∴△ABE≌△ACD(ASA), ∴BE=CD; 选择条件③的证明为: ∵∠ABC=∠ACB, ∴AB=AC, ∵FB=FC, ∴∠FBC=∠FCB, ∴∠ABC﹣∠FBC=∠ACB﹣∠FCB, 即∠ABE=∠ACD, 在△ABE和△ACD中, , ∴△ABE≌△ACD(ASA), ∴BE=CD. 故答案为①AD=AE(②∠ABE=∠ACD或③FB=FC) 【母题来源】(2021·浙江杭州) 【母题题文】如图,在△ABC中,∠ABC的平分线BD交AC边于点D,AE⊥BC于点E.已知∠ABC=60°,∠C=45°. (1)求证:AB=BD; (2)若AE=3,求△ABC的面积. 【分析】(1)计算出∠ADB和∠BAC,利用等角对等边即可证明; (2)利用锐角三角函数求出BC即可计算△ABC的面积. 【解答】(1)证明:∵BD平分∠ABC,∠ABC=60°, ∴∠DBC=∠ABC=30°, ∵∠C=45°, ∴∠ADB=∠DBC+∠C=75°, ∠BAC=180°﹣∠ABC﹣∠C=75°, ∴∠BAC=∠ADB, ∴AB=BD; (2)解:在Rt△ABE中,∠ABC=60°,AE=3, ∴BE==, 在Rt△AEC中,∠C=45°,AE=3, ∴EC==3, ∴BC=3+, ∴S△ABC=BC×AE=. 【母题来源】(2021·浙江丽水) 【母题题文】如图,在5×5的方格纸中,线段AB的端点均在格点上,请按要求画图. (1)如图1,画出一条线段AC,使AC=AB,C在格点上; (2)如图2,画出一条线段EF,使EF,AB互相平分,E,F均在格点上; (3)如图3,以A,B为顶点画出一个四边形,使其是中心对称图形,且顶点均在格点上. 【分析】(1)AB为长方形对角线,作出相等线段即可; (2)只要保证四边形AFBE是平行四边形即可; (3)同(2). 【解答】解:如图:(1)线段AC即为所作, (2)线段EF即为所作, (3)四边形ABHG即为所作. 【母题来源】(2021·浙江绍兴) 【母题题文】如图,Rt△ABC中,∠BAC=90°,cosB=,点D是边BC的中点,以AD为底边在其右侧作等腰三角形ADE,使∠ADE=∠B,连结CE,则的值为( ) A. B. C. D.2 【分析】设DE交AC于T,过点E作EH⊥CD于H.首先证明EA=ED=EC,再证明∠B=∠ECD,可得结论。 【解答】解:设DE交AC于T,过点E作EH⊥CD于H. ∵∠BAC=90°,BD=DC, ∴AD=DB=DC, ∴∠B=∠DAB, ∵∠B=∠ADE, ∴∠DAB=∠ADE, ∴AB∥DE, ∴∠DTC=∠BAC=90°, ∵DT∥AB,BD=DC, ∴AT=TC, ∴EA=EC=ED, ∴∠EDC=∠ECD, ∵EH⊥CD, ∴CH=DH, ∵DE∥AB, ∴∠EDC=∠B, ∴∠ECD=∠B, ∴cos∠ECH=cosB=, ∴=, ∴==2, 故选:D. 【母题来源】(2021·浙江绍兴) 【母题题文】如图,在△ABC中,AB=AC,∠B=70°,以点C为圆心,CA长为半径作弧,交直线BC于点P,连结AP,则∠BAP的度数是 . 【分析】根据等腰三角形的性质可以得到△ABC各内角的关系,然后根据题意,画出图形,利用分类讨论的方法求出∠BAP的度数即可. 【解答】解:如右图所示, 当点P在点B的左侧时, ∵AB=AC,∠ABC=70°, ∴∠ACB=ABC=70°, ∴∠BAC=