第09讲 空间点、直线、平面之间的关系（核心考点讲与练）-2021-2022学年高一数学考试满分全攻略（人教A版2019必修第二册）

第09讲空间点、直线、平面之间的关系（核心考点讲与练） 1．平面的概念 数学中的平面是一个不加定义的原始概念，常见的桌面、黑板面、海平面都给我们平面的形象．几何里所说的平面就是从这样的一些物体抽象出来的，平面是无限延展的，没有厚度，也没有大小、轻重之分． 2．空间中的四个公理及其推论 公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内． 公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面． 推论1：经过一条直线和直线外一点，有且只有与一个平面． 推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面． 推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面． 公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线． 公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行． 3．等角定理 空间中，如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补． 4．直线与直线的位置关系 (1)位置关系的分类 平行直线： 公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。 符号表示为：，. 公理4说明平行具有传递性，在平面、空间都适用. 定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补. 异面直线的概念：不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线. 要点诠释： （1）异面直线具有既不相交也不平行的特点． （2）异面直线定义中“不同在任何一个平面内”是指这两条直线“不能确定一个平面”，其中的“任何”是异面直线不可缺少的前提条件．不能把“不同在任何一个平面内”误解为“不同在某一平面内”，例如下图甲中，直线a，直线，a∥b，不能由a、b不同在平面内就误认为a与b异面，实际上，由a∥b可知a与b共面，它们不是异面直线． （3）“不同在任何一个平面内的两条直线”与“分别在某两个平面内的两条直线”的含义是截然不同的，前者是说不可能找到一个同时包含这两条直线的平面，而后者“分别在某两个平面内的两条直线”指的是画在某两个平面内的直线，并不能确定这两条直线异面．它们可以是平行直线，如下图甲所示，也可以是相交直线，如下图乙所示． （4）画异面直线时，为了突出它们不共面的特点，常常需要面作衬托，明显地体现出异面直线既不相交也不平行的特点，如下图甲、乙、丙所示． 异面直线的判定方法：利用定义判断两直线不可能在同一平面内． (2)异面直线所成的角 ①定义：过空间任意一点P分别引两条异面直线a，b的平行线l1，l2(a∥l1，b∥l2)，这两条相交直线所成的锐角(或直角)就是异面直线a，b所成的角． ②范围：. 要点诠释： 异面直线所成角的取值范围是； 求两条异面直线所成角的步骤可以归纳为四步：选点→平移→定角→计算. 5．空间直线与平面、平面与平面的位置关系 图形语言 符号语言 公共点 直 线 与 平 面 相交 a∩α＝A 1个 平行 a∥α 0个 在平面内 a⊂α 无数个 平 面 与 平 面 平行 α∥β 0个 相交 α∩β＝l 无数个 考点一 ： 平面的基本性质及应用 例1.下列结论正确的是________． ①经过一条直线和这条直线外一点可以确定一个平面 ②经过两条相交直线，可以确定一个平面 ③经过两条平行直线，可以确定一个平面 ④经过空间任意三点可以确定一个平面 考点二 ： 空间直线的位置关系 例1．异面直线是指（ ） A．空间中两条不相交的直线 B．分别位于两个不同平面内的两条直线 C．平面内的一条直线与平面外的一条直线 D．不同在任何一个平面内的两条直线 【变式1】 判断下列说法是否正确?若正确，请简述理由；若不正确，请在下列给出的图形中找出反例，并给予说明． （1）没有公共点的两条直线是异面直线； （2）分别在两个平面内的直线一定是异面直线； （3）分别与两条相交直线都相交的两条直线共面； （4）分别与两条异面直线都相交的两条直线异面． 例2．已知a，b，c是三条直线，如果a与b是异面直线，b与c是异面直线，那么a与c有怎样的位置关系？并画图说明． 【变式1】如图，正方体中，点分别是棱的中点，判断下列直线的位置关系： （1）与 ：（2）与： （3）与：（4）与． 例3　正方体AC1中，E、F分别是线段BC、CD1的中点，则直线A1B与直线EF的位置关系是________． 【变式1】 如图是正四面体(各面均为正三角形)的平面展开图，G、H、M、N分别为DE、BE、EF、EC的中点，在这个正四面体中， ①GH与EF平行； ②BD与MN为异面直线； ③GH与MN成