10.5 分式方程-【帮课堂】2021-2022学年八年级数学下册同步精品讲义（苏科版）

第10章 分式 10.5 分式方程 目标导航 课程标准 课标解读 1.理解分式方程的概念以及能够解分式方程。 2.能够运用分式方程解决实际问题。 1. 了解分式方程的概念和检验根的意义,会解可化为一元一次方程的分式方程。 2. 会列出分式方程解简单的应用问题。 知识精讲 知识点01 分式方程的概念与解法 1.分式方程的概念 分母中含有未知数的方程叫分式方程。 【微点拨】 (1)分式方程的重要特征:①是等式;②方程里含有分母;③分母中含有未知数。 (2)分式方程和整式方程的区别就在于分母中是否有未知数(不是一般的字母系数).分母中含有未知数的方程是分式方程,分母中不含有未知数的方程是整式方程。 (3)分式方程和整式方程的联系:分式方程可以转化为整式方程。 2.分式方程的解法 解分式方程的基本思想:将分式方程转化为整式方程.转化方法是方程两边都乘以最简公分母,去掉分母。在去分母这一步变形时,有时可能产生使最简公分母为零的根,这种根叫做原方程的增根。因为解分式方程时可能产生增根,所以解分式方程时必须验根。 解分式方程的一般步骤: (1)方程两边都乘以最简公分母,去掉分母,化成整式方程(注意:当分母是多项式时,先分解因式,再找出最简公分母); (2)解这个整式方程,求出整式方程的解; (3)检验:将求得的解代入最简公分母,若最简公分母不等于0,则这个解是原分式方程的解,若最简公分母等于0,则这个解不是原分式方程的解,原分式方程无解。 【即学即练1】解方程: (1); (2). 【答案】(1)x=2 (2)无解 【分析】(1)解:去分母得:4x=x+6, 解得:x=2, 检验:把x=2代入x(x+6) ≠0, ∴x=2是原方程的根; (2) 解:去分母得:x(x+2)-(x-1)(x+2)=3, 解得:x=1, 检验:把x=1代入得:(x-1)(x+2)=0, ∴x=1是增根,分式方程无解. 知识点02 分式方程的增根与应用 1.解分式方程产生增根的原因 方程变形时,可能产生不适合原方程的根,这种根叫做原方程的增根。 产生增根的原因:去分母时,方程两边同乘的最简公分母是含有字母的式子,这个式子有可能为零,对于整式方程来说,求出的根成立,而对于原分式方程来说,分式无意义,所以这个根是原分式方程的增根。 【微点拨】 (1)增根是在解分式方程的第一步“去分母”时产生的。根据方程的同解原理,方程的两边都乘以(或除以)同一个不为0的数,所得方程是原方程的同解方程.如果方程的两边都乘以的数是0,那么所得方程与原方程不是同解方程,这时求得的根就是原方程的增根。 (2)解分式方程一定要检验根,这种检验与整式方程不同,不是检查解方程过程中是否有错误,而是检验是否出现增根,它是在解方程的过程中没有错误的前提下进行的。 2.分式方程的应用 分式方程的应用主要就是列方程解应用题。 列分式方程解应用题按下列步骤进行: (1)审题了解已知数与所求各量所表示的意义,弄清它们之间的数量关系; (2)设未知数; (3)找出能够表示题中全部含义的相等关系,列出分式方程; (4)解这个分式方程; (5)验根,检验是否是增根; (6)写出答案。 【即学即练2】已知关于x的分式方程. (1)若分式方程的根是,求a的值; (2)若分式方程有增根,求a的值; (3)若分式方程无解;求a的值的. 【答案】(1)1 (2)-2 (3)3或-2 【分析】分式方程去分母转化为整式方程, (1)把x=5代入整式方程求出a的值即可; (2)由分式方程有增根,得到最简公分母为0求出x的值,代入整式方程求出a的值即可; (3)分a-3=0与a-3≠0两种情况,根据分式方程无解,求出m的值即可. 【解析】(1)去分母得,x(x+a)-5(x-2)=x(x-2), 整理得: 把x=5代入得, , ∴a=1; (2)由分式方程有增根,得到x(x-2)=0, 解得:x=2或x=0, 把x=2代入整式方程得:a=-2; 把x=0代入整式方程得:a的值不存在, ∴分式方程有增根,a=-2 (3)化简整式方程得:(a-3)x=-10, 当a-3=0时,该方程无解,此时a=3; 当a-3≠0时,要使原方程无解,必须为分式方程增根,由(2)得:a=-2, 综上,a的值为3或-2. 能力拓展 考法01 分式方程的解法 【典例1】解方程: (1); (2) 【答案】(1) (2)方程无解 【分析】(1)先去分母、去括号,然后移项合并,系数化为1,最后进行检验; (2)先去分母、提公因式,然后去括号,移项合并,最后进行检验. 【解析】(1)解: 去分母得: 去括号得: 移项合并得: 系数化为1得: 经检验,是分式方程的解 ∴分式方程的解为. (2)解: 去分母得: 因式分解得: 去括号得: 解得: 经检验,是分式方程的