第4章 因式分解 ——因式分解之十字相乘法 同步专题培优提高练习 2021—2022学年北师大版数学八年级下册

因式分解之十字相乘法

1．x2+（p+q）x+pq型式子是数学学习中常见的一类多项式，如何将这种类型的式子因式分解呢？因为（x+p）（x+q）＝x2+（p+q）x+pq，所以，根据因式分解是与整式乘法方向相反的变形，利用这种关系可得：x2+（p+q）x+pq＝（x+p）（x+q）．

如：x2+3x+2＝x2+（1+2）x+1×2＝（x+1）（x+2）

上述过程还可以形象的用十字相乘的形式表示：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项的系数，如图．

这样，我们可以得到：x2+3x+2＝（x+1）（x+2）

利用这种方法，将下列多项式分解因式：

（1）x2+7x+10

（2）﹣2x2﹣6x+36

2．分解因式：

（1）x2+5x+6＝　   　；

（2）3x2﹣4x+1＝　   　；

（3）（a﹣3b）2﹣4c2+12ab＝　   　．

3．阅读下列材料：

材料1、将一个形如x2+px+q的二次三项式因式分解时，如果能满足q＝mn且p＝m+n，则可以把x2+px+q因式分解成（x+m）（x+n）

（1）x2+4x+3＝（x+1）（x+3）（2）x2﹣4x﹣12＝（x﹣6）（x+2）

材料2、因式分解：（x+y）2+2（x+y）+1

解：将“x+y”看成一个整体，令x+y＝A，则原式＝A2+2A+1＝（A+1）2

再将“A”还原，得：原式＝（x+y+1）2

上述解题用到“整体思想”，整体思想是数学解题中常见的一种思想方法，请你解答下列问题：

（1）根据材料1，把x2﹣6x+8分解因式．

（2）结合材料1和材料2，完成下面小题：

①分解因式：（x﹣y）2+4（x﹣y）+3；

②分解因式：m（m+2）（m2+2m﹣2）﹣3．

4．将多项式x2﹣2x﹣8分解因式，正确的是（　　）

A．（x+2）（x﹣4） B．（x﹣2）（x﹣4） C．（x+2）（x+4） D．（x﹣2）（x+4）

5．如果二次三项式x2﹣ax﹣9（a为整数）在整数范围内可以分解因式，那么a可取值的个数是（　　）

A．2个 B．3个 C．4个 D．无数个

6．因式分解：12x3﹣14x2﹣6x＝　   　．

7．分解因式：3x3﹣2x2﹣x＝　   　．

8．因式分解：（x2+x）2﹣8（x2+x）+12．

9．在对某二次三项式进行因式分解时，甲同学因看错了一次项系数而将其分解为2（x﹣1）（x﹣9），乙同学因看错常数项而将其分解为2（x﹣2）（x﹣4），请你写出这个二次三项式，并将其进行正确的因式分解．

10．分解因式：x2+12x﹣189，分析：由于常数项数值较大，则将x2+12x﹣189变为完全平方公式，再运用平方差公式进行分解，这样简单易行．

x2+12x﹣189＝x2+2*6x+62﹣36﹣189

＝（x+6）2﹣225

＝（x+6）2﹣152

＝（x+6+15）（x+6﹣15）

＝（x+21）（x﹣9）

请按照上面的方法分解因式：x2﹣60x+884．