第08讲 简单几何体的表面积和体积（核心考点讲与练）-2021-2022学年高一数学考试满分全攻略（人教A版2019必修第二册）

第08讲简单几何体的表面积和体积（核心考点讲与练） 一、棱柱、棱锥、棱台的表面积 棱柱、棱锥、棱台是多面体，它们的各个面均是平面多边形，它们的表面积就是各个面的面积之和。计算时要分清面的形状，准确算出每个面的面积再求和。棱柱、棱锥、棱台底面与侧面的形状如下表： 项目 名称 底面 侧面 棱柱 平面多边形 平行四边形 面积=底·高 棱锥 平面多边形 三角形 面积= ·底·高 棱台 平面多边形 梯形 面积= ·（上底+下底）·高 要点诠释： 求多面体的表面积时，只需将它们沿着若干条棱剪开后展开成平面图形，利用平面图形求多面体的表面积． 二、圆柱、圆锥、圆台的表面积 圆柱、圆锥、圆台是旋转体，它们的底面是圆面，易求面积，而它们的侧面是曲面，应把它们的侧面展开为平面图形，再去求其面积． 1．圆柱的表面积 （1）圆柱的侧面积：圆柱的侧面展开图是一个矩形，如下图，圆柱的底面半径为r，母线长 ，那么这个矩形的长等于圆柱底面周长C=2πr，宽等于圆柱侧面的母线长 （也是高），由此可得S圆柱侧=C =2πr ． （2）圆柱的表面： ． 2．圆锥的表面积 （1）圆锥的侧面积：如下图（1）所示，圆锥的侧面展开图是一个扇形，如果圆锥的底面半径为r，母线长为 ，那么这个扇形的弧长等于圆锥底面周长C=πr，半径等于圆锥侧面的母线长为 ，由此可得它的侧面积是 ． （2）圆锥的表面积：S圆锥表=πr2+πr ． 3．圆台的表面积 （1）圆台的侧面积：如上图（2）所示，圆台的侧面展开图是一个扇环．如果圆台的上、下底面半径分别为r＇、r，母线长为 ，那么这个扇环的面积为π(r＇+r) ，即圆台的侧面积为S圆台侧=π(r＇+r) ． （2）圆台的表面积： ． 要点诠释： 求旋转体的表面积时，可从旋转体的生成过程及其几何特征入手，将其展开后求表面积，但要搞清它们的底面半径、母线长与对应的侧面展开图中的边长之间的关系． 4．圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式之间的关系如下图所示． 【高清课堂：空间几何体的表面积和体积395219 空间几何体的体积】 三、柱体、锥体、台体的体积 1．柱体的体积公式 棱柱的体积：棱柱的体积等于它的底面积S和高h的乘积，即V棱柱=Sh． 圆柱的体积：底面半径是r，高是h的圆柱的体积是V圆柱=Sh=πr2h． 综上，柱体的体积公式为V=Sh． 2．锥体的体积公式 棱锥的体积：如果任意棱锥的底面积是S，高是h，那么它的体积 ． 圆锥的体积：如果圆锥的底面积是S，高是h，那么它的体积 ；如果底面积半径是r，用πr2表示S，则 ． 综上，锥体的体积公式为 ． 3．台体的体积公式 棱台的体积：如果棱台的上、下底面的面积分别为S＇、S，高是h，那么它的体积是 ． 圆台的体积：如果圆台的上、下底面半径分别是r＇、r，高是h，那么它的体积是 ． 综上，台体的体积公式为 ． 4．柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系如下图所示． 【高清课堂：空间几何体的表面积和体积395219 球的体积与表面积】 四、球的表面积和体积 1．球的表面积 （1）球面不能展开成平面，要用其他方法求它的面积． （2）球的表面积 设球的半径为R，则球的表面积公式 S球=4πR2． 即球面面积等于它的大圆面积的四倍． 2．球的体积 设球的半径为R，它的体积只与半径R有关，是以R为自变量的函数． 球的体积公式为 ． 五、侧面积与体积的计算 1．多面体的侧面积与体积的计算 在掌握直棱柱、正棱锥、正棱台侧面积公式及其推导过程的基础上，对于一些较简单的几何组合体的表面积与体积，能够将其分解成柱、锥、台、球，再进一步分解为平面图形（正多边形、三角形、梯形等），以求得其表面积与体积．要注意对各几何体相重叠部分的面积的处理，并要注意一些性质的灵活运用． （1）棱锥平行于底的截面的性质： 在棱锥与平行于底的截面所构成的小棱锥中，有如下比例关系： 对应线段（如高、斜高、底面边长等）的平方之比． 要点诠释： 这个比例关系很重要，在求锥体的侧面积、底面积比时，会大大简化计算过程．在求台体的侧面积、底面积比时，将台体补成锥体，也可应用这个关系式． （2）有关棱柱直截面的补充知识． 在棱柱中，与各侧棱均垂直的截面叫做棱柱的直截面，正棱柱的直截面是其上下底面及与底面平行的截面．棱柱的侧面积与直截面周长有如下关系式： S棱柱侧=C直截 （其中C直截、 分别为棱柱的直截面周长与侧棱长）， V棱柱=S直截 （其中S直截、 分别为棱柱的直截面面积与侧棱长）． 2．旋转体的侧面积和体积的计算 （1）圆柱、圆锥、圆台的侧面积分别是它们侧面展开图的面积，因此弄清侧面展开图的形式及侧面展开图中各线段与原旋转体的关系，是掌