专题17.3 勾股定理的逆定理（重点题专项讲练）-2021-2022学年八年级数学下册从重点到压轴（人教版）

专题17.3 勾股定理的逆定理 【典例1】如图，在△ABC中，AD、AE分别是高和角平分线． （1）若∠BAC＝86°，∠C＝32°，求∠DAE的度数； （2）若AB＝15，AC＝20，AD＝12． ①求证：∠BAC是直角； ②求AE的长度． 【思路点拨】 （1）求出∠DAC，∠EAC，可得结论； （2）①利用勾股定理的逆定理证明即可． ②过点E作EM⊥AC于M，EN⊥AB于N，证明△AME，△AEN都是等腰直角三角形，推出AN＝NE＝EM＝AM，利用面积法求解． 【解题过程】 解：（1）∵AE平分∠ABC， ∴∠EAC∠BAC＝43°， ∵AD⊥BC， ∴∠DAC＝90°﹣∠C＝58°， ∴∠DAE＝∠DAC﹣∠EAC＝58°﹣43°＝15°． （2）①证明：∵AD⊥BC， ∴∠ADB＝∠ADC＝90°， ∴BD9，CD16， ∴BC＝BD+DC＝9+16＝25， ∵AB2+AC2＝152+202＝625，BC2＝625， ∴AB2+AC2＝BC2， ∴∠BAC＝90°； ②解：过点E作EM⊥AC于M，EN⊥AB于N， ∵AE平分∠BAC， ∴∠EAB＝∠AEC＝45°， ∴△AME，△AEN都是等腰直角三角形， ∴AN＝NE＝EM＝AM， ∵•AB•AC•AB•EN•AC•EM， ∴EM． ∴AEEM． 1．（2021秋•锦江区校级期末）在△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，下列条件中：①a2：b2：c2＝1：2：3；②（a+b）（a﹣b）＝c2；③∠A：∠B：∠C＝1：1：2；④a＝9，b＝40，c＝41．不能判断△ABC是符合条件的直角三角形的有（　　）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【思路点拨】 根据所给的数据和三角形内角和定理，勾股定理的逆定理分别对每一项进行分析，即可得出答案． 【解题过程】 解：①由题意知，a2+b2＝c2，则∠C＝90°，△ABC是符合条件的直角三角形； ②由题意知，c2+b2＝a2，则∠A＝90°，△ABC是不符合条件的直角三角形； ③由题意知∠A＝45°，∠B＝45°，∠C＝90°，则△ABC是符合条件的直角三角形； ④由题意知a2+b2＝c2，则∠C＝90°，△ABC是符合条件的直角三角形； 故选：A． 2．（2021秋•平昌县期末）有下列各组数：①3，4，5；②62，82，102；③0.5，1.2，1.3；④1，，．其中勾股数有（　　） A．1组 B．2组 C．3组 D．4组 【思路点拨】 欲判断是否为勾股数，必须根据两小边的平方和是否等于最长边的平方，从而得出答案． 【解题过程】 解：①32+42＝52，是勾股数； ②（62）2+（82）2≠（102）2，不是勾股数； ③0.5，1.2，1.3不是整数，不是勾股数； ④1，，．不是整数，不是勾股数； 其中勾股数有①， 故选：A． 3．（2021秋•电白区期末）将直角三角形的各边都缩小或扩大同样的倍数后，得到的三角形（　　） A．可能是锐角三角形 B．不可能是直角三角形 C．仍然是直角三角形 D．可能是钝角三角形 【思路点拨】 由于三角形是直角三角形，所以三边满足勾股定理，当各边扩大或者缩小k倍时，再利用勾股定理的逆定理判断三角形的形状． 【解题过程】 解：设直角三角形的直角边分别为a、b，斜边为c． 则满足a2+b2＝c2． 若各边都扩大k倍（k＞0），则三边分别为ak、bk、ck （ak）2+（bk）2＝k2（a2+b2）＝（ck）2 ∴三角形仍为直角三角形． 故选：C． 4．（2021秋•南岸区期末）如图，在单位为1的方格中，有标号为①、②、③、④的四个三角形，其中直角三角形的个数为（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【思路点拨】 根据直角三角形的定义，勾股定理，勾股定理的逆定理即可求解． 【解题过程】 解：观察图形可知①是直角三角形； ②∵12+32＝1+9＝10，22+42＝4+16＝20，10+10＝20， ∴②是直角三角形； ③∵22+22＝4+4＝8，32+32＝9+9＝18，52+12＝25+1＝26，8+18＝26， ∴③是直角三角形； ④∵12+22＝1+4＝5，22+42＝4+16＝20，52＝25，5+20＝25， ∴④是直角三角形． 故选：D． 5．（2021秋•成华区期末）如图是用三块正方形纸片设计的“毕达哥拉斯”图案，其中三块正方形围成的三角形是直角三角形．现有若干块正方形纸片，面积分别是1，2，3，4，5，选取其中三块（可重复选取）按图的方式组成图案，则下列选取中，围成的直角三角形面积最大的是（　　） A．1，4，5 B．2，3，5 C．3，4，5 D．2，2，4 【思路点拨】 根据题意可知，三块正方形的面积中，两个较小的面积之和等于最大的面积，围