专题16：解析几何二-2022年高考数学尖子生强基校考讲义

2022年高考数学尖子生强基计划专题16:解析几何二 1、 真题特点分析: 1.【2020复旦大学1】设抛物线,过焦点作直线,交抛物线于,两点,满足.过点作抛物线准线的垂线,垂足记为点,准线交轴于点,若,则 _. 2.【2020武汉大学10】 已知直线,动点在椭圆上,作交于点,作交于点.若为定值,则( ) A. B. C. D. 3.【2021复旦大学10】已知,分别是椭圆的左右焦点,为椭圆上一点,延长到点,满足.的中点为,则下列两个结论是否正确: 结论1:;结论2:为椭圆的切线. 答:结论2正确 二、知识要点拓展 1. 椭圆中的经典结论: (A) 点在椭圆上上,则过的椭圆的切线方程是. (B) 点在椭圆上外,则过作椭圆的两条切线切点为,则切点弦的直线方程是. (C) 椭圆的左右焦点分别为,点为椭圆上一点,,则椭圆的焦点三角形的面积为. (A) 双曲线中的经典结论: 1. 点在双曲线上()上,则过的双曲线的切线方程是 . 2点在双曲线上()外,则过作双曲线的两条切线切点为,则切点弦的直线方程是. 3.双曲线()的左右焦点分别为,点为双曲线上一点,,则双曲线的焦点三角形的面积为. 三.抛物线: 1.过抛物线的焦点的一条弦 , 记准线与轴交点为,分别交轴于两点,则: 2. 端点坐标积恒定:过抛物线的焦点的直线,交抛物线于 ,则:(1), ; (2) 。 3. 共线: 过抛物线的焦点的直线,交抛物线于两点,如图示,有下列三个结论: (1)三点共线 . (2)三点共线. (3)设直线与抛物线的准线的交点为,则平行于轴. (4)设直线与抛物线的准线的交点为,则平行于轴. 【知识拓展】 一.圆锥曲线和直线的参数方程 1.圆的参数方程是其中是参数。 2.椭圆的参数方程是其中是参数,称为离心角。 3.双曲线的参数方程是其中是参数。 4.抛物线的参数方程是其中是参数。 5.过定点,倾斜角为的直线参数方程为为参数。 这里参数的几何意义是:①表示直线上的点和定点的距离;②当点 在点的上方时,,当点在点的下方时,;当点与点 重合时,,反之亦然。 二.圆锥曲线的统一极坐标方程 以圆锥曲线的焦点(椭圆的左焦点、双曲线的右焦点、抛物线的焦点)为极点,过极点引相应准线的垂线的反向延长线为极轴,则圆锥曲线的统一极坐标方程为,其中为离心率,是焦点到相应准线的距离。 三.焦半径公式 设为圆锥曲线上任一点,分别为点到焦点及相应准线的距离,则. 1.对于椭圆,、是它的两个焦点.设是椭圆上的任一点,则有,. ►解读:由椭圆的焦半径公式可知,椭圆上的某一点的焦半径的长是这一点的横坐标(对是纵坐标)的一次函数. ►(扩充):焦半径公式的另一种形式()为(是以为始边,为终边的角,不是的倾斜角). 2.对于双曲线(),、是它的两个焦点.设是双曲线上的任一点,若点在双曲线的右支上,则有,;若点在双曲线的左支上,则有,. ►(扩充):焦半径公式的另一种形式(())为(是以为始边,为终边的角,不是的倾斜角). ►注意:当时,点在右支上,当时,点在左支上. 3.对于抛物线(),是它的焦点,设是抛物线上的任一点,则.设,则. 四.共轭直径 二次曲线平行弦的中点轨迹称为它的直径.若两直径中的每一直径平分与另一直径平行的弦,则称此两直径为共轭直径. 1.设椭圆的方程为,互为共轭直径的斜率关系为; 2.设双曲线的方程为(),互为共轭直径的斜率关系为; 3.设抛物线的方程为(),一组斜率为的平行弦的中点轨迹为射线. 五.过焦点的弦 1.设椭圆的方程为,过的弦长为,过的弦长为.过焦点的弦长是一个仅与它的中点横坐标有关的数. ►(扩充):焦点弦长的另一种形式为.(是以为始边,为终边的角,不是的倾斜角). 2.设双曲线的方程为(),过的弦长为,过的弦长为. ►(扩充):焦点弦长的另一种形式为(是以为始边,为终边的角,不是的倾斜角). 3.设抛物线的方程为(),,设,则焦点弦长为. 六.双曲线的渐近线 1.如果曲线上的点无限远离原点时,存在一条直线,使得与此直线的距离无限趋向于零,则这条直线称为曲线的一条渐近线.双曲线的渐近线方程为,即. 2.共轭双曲线的方程为,共渐近线的双曲线系方程:. 互为共轭的两条双曲线有以下性质: ①时得焦点在轴上的双曲线;时得焦点在轴上的双曲线;时即是双曲线的渐近线; ②两共轭的双曲线的离心率满足; ③它们的四个焦点在同一个圆上. 三、典例精讲 例1.(复旦)已知抛物线的顶点在原点,焦点在上,三个顶点都在抛物线上,且的重心为抛物线的焦点,若边所在直线的方程为,则抛物线方程为( ) (A) (B) (C) (D) ►分析与解答:如图,可令方程为。 设。 。 所以, ,依题意, 所以 ① ② ③ ④ 由①、③,代入④中,。 另一方面,由①、②。 所以(舍去)。 所以抛物线方程为