中档题通关13 三角形相似相关问题-2022中考数学【精彩三年】中考中档题（杭州专用）word

中档题通关13　三角形相似相关问题 (见学生用书P31) (建议时间：60分钟) 　　　　　　 　　 　　　　　　　　 1．如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，下列说法中不正确的是(　D　) A．DE＝BC B．＝ C．△ADE∽△ABC D．S△ADE∶S△ABC＝1∶2 　　第1题图 　　　　　第2题图 2．如图，在△ABC中，点D，E分别在AB和AC上，DE∥BC，M为BC边上一点(不与点B，C重合)，连结AM交DE于点N，则(　C　) A．＝ B．＝ C．＝ D．＝ 3．2021·遂宁如图，正方形ABCD中，点E是CD边上一点，连结BE，以BE为对角线作正方形BGEF，边EF与正方形ABCD的对角线BD相交于点H，连结AF，有以下五个结论：①∠ABF＝∠DBE；②△ABF∽△DBE；③AF⊥BD；④2BG2＝BH·BD；⑤若CE∶DE＝1∶3，则BH∶DH＝17∶16. 你认为其中正确是__①②③④__．(填写序号) 解析：∵正方形ABCD和正方形BGEF， ∴△ABD和△FBE都是等腰直角三角形， ∴∠ABD＝∠FBE＝45°，∴∠ABF＝∠DBE， ∴①正确，符合题意； ∵△ABD和△FBE都是等腰直角三角形， ∴＝，又∵∠ABF＝∠DBE，∴△ABF∽△DBE， ∴②正确，符合题意； ∵△ABF∽△DBE，∴∠FAB＝∠EDB＝45°， ∴AF⊥BD，∴③正确，符合题意； ∵∠BEH＝∠EDB＝45°，∠EBH＝∠DBE， ∴△BEH∽△BDE，∴＝， ∴BE2＝BD·BH， ∵BE＝BG， ∴2BG2＝BD·BH， ∴④正确，符合题意； ∵CE∶DE＝1∶3，∴设CE＝x，DE＝3x，∴BC＝4x， 在Rt△BCE中，由勾股定理知BE＝x， ∵BE2＝BD·BH，∴17x2＝4x×BH， ∴BH＝x， ∴DH＝x，∴BH∶DH＝17∶15， ∴⑤错误，不符合题意． 正确的有①②③④. 4．三角形三条边上的中线交于一点，这个点叫三角形的重心．如图，G是△ABC的重心．求证：AD＝3GD. 证明：连结DE， ∵点G是△ABC的重心， ∴点E和点D分别是AB和BC的中点， ∴DE是△ABC的中位线， ∴DE∥AC且DE＝AC， ∴△DEG∽△ACG，∴＝， ∴＝，∴＝， ∴AD＝3GD. 5．如图所示，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E在AC边上，且AE∶EC＝1∶2，BE交AD于P，则AP∶PD等于(　A　) A．1∶1 B．1∶2 C．2∶3 D．4∶3 　　第5题图 　　　　　第6题图 6．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC>AC， CD是△ABC的角平分线，过点D作DE⊥CD 交BC于点E，△ACD和△BDE的面积分别为 S1和S2，若＝，则的值为(　C　) A．3 B． C． D． 解析：作DP⊥BC交BC于P，作DQ⊥AC交AC于Q， ∵∠ACB＝90°，CD平分∠ACB， ∴DP＝DQ，四边形DQCP是矩形， ∴四边形DQCP是正方形． 易得，△ADQ∽△DBP， ∴＝＝＝. 设AQ＝2x，则DQ＝DP＝CQ＝3x， ∴BP＝4.5x. ∵∠EDC＝90°，∠DCE＝45°， ∴DE＝DC， ∴DP＝EP＝PC＝3x， ∴BE＝BP－EP＝1.5x，AC＝AQ＋QC＝5x. ∵DP＝DQ，S2＝DP·BE，S1＝DQ·AC， ∴＝＝＝. 7．2021·上海如图所示，已知在梯形ABCD中， AD∥BC，＝，则＝____． 8．如图，CD是直角三角形ABC斜边AB上的中线，点E位于边AC上，且∠ADE＝∠B－∠A. (1)求证：△CDE∽△ACB. (2)若DA＝，EA＝1，求CE的长． 解：(1)证明：∵CD是直角△ABC斜边上的中线， ∴DC＝DA＝DB，∴∠DCA＝∠A， 在△ADE中，∠DEC＝∠A＋∠ADE. 又∠ADE＝∠B－∠A，即∠B＝∠A＋∠ADE， ∴∠DEC＝∠B，∴△CDE∽△ACB. (2)∵CD是直角三角形ABC斜边上的中线， ∴DC＝DA＝DB＝，∴AB＝2， ∵△CDE∽△ACB，∴＝，即＝， 解得CE＝3，CE＝－4(舍)，∴CE＝3. 9．2021·南充如图，点E在正方形ABCD的边AD上，点F是线段AB上的动点(不与点A重合)，DF交AC于点G，GH⊥AD于点H，AB＝1，DE＝. (1)求tan ∠ACE. (2)设AF＝x，GH＝y，试探究y与x的函数关系式(写出x的取值范围). (3)当∠ADF＝∠ACE时，判断EG与AC的位置关系并说明理由． 解：(1)过点E作EM⊥AC于点M， ∴∠AME＝∠EMC＝90°. ∵四边形ABCD是边长为1的正方形，DE＝， ∴∠CAD＝45°