第20讲 导数的应用（核心考点讲与练）-2021-2022学年高二数学考试满分全攻略（沪教版2020选修第二册）

第20讲 导数的应用 (核心考点讲与练) 用导数研究函数： （３） 连续函数在闭区间的最值：在导数存在的前提下，把函数驻点处与区间端点处的函 数值进行比较，其中最大的就是最大值，最小的就是最小值． 一、利用导数研究函数的单调性 【例1】（2021·上海市吴淞中学高三阶段练习）方程的解的个数为（       ）个. A．0 B．1 C．2 D．无数 【例2】（2022·上海·高三专题练习）函数，若满足恒成立，则实数的取值范围为（       ） A． B． C． D． 【例3】（2021·上海市奉贤中学高一期中）已知，且是常数，且，则（       ） A． B． C． D． 【例4】（2021·全国·高考真题（理））设，，．则（       ） A． B． C． D． 【例5】（2017·上海市宜川中学模拟预测（文））已知的定义域为，为的导函数，且满足，则不等式的解集是（       ） A． B． C． D． 【例6】（2022·上海交大附中高二期末）若函数的解析式，则使得成立的的取值范围是___________. 【例7】（2021·上海市控江中学三模）已知常数，，函数，. （1）当，时，判断函数在区间的单调性； （2）当时，若关于x的方程恰有两个相异实根，求实数a的取值范围. 【例8】（2021·上海交大附中高三开学考试）（1）已知函数，试判断函数在区间上的单调性，并说明理由； （2）已知函数，对于常数，试讨论函数的单调性（无需证明）； （3）已知函数，若对于函数满足恒成立，求实数a的取值范围． 【例9】（2021·上海市延安中学高三阶段练习）已知函数； （1）判断函数的奇偶性，并说明理由； （2）若函数在上是增函数，求实数的取值范围； 二、利用导数研究函数的极值与最值 【例1】（2021·上海市向明中学高一阶段练习）定义在上的函数f(x)、g(x)，，若对任意，存在，使得成立，则称是在上的“追逐函数”.已知，下列四个函数：① ；② ；③ ；④．其中是在上的“追逐函数”的有（       ） A．① ② ④ B．① ② ③ C．① ④ D．① ② 【例2】（2020·上海市陆行中学高三阶段练习）如图，阴影部分为古建筑群所在地，其形状是一个长为2km，宽为1km的矩形，矩形两边AB、AD紧靠两条互相垂直的路上，现要过点C修一条直线的路l，这条路不能穿过古建筑群，且与另两条路交于点P和Q． (1)设AQ＝x（km），将△APQ的面积S表示为x的函数； (2)求△APQ的面积S（km）的最小值． 【例3】（2021·上海·复旦附中高三开学考试）现有一批货物冲上海洋山深水港运往青岛，已知该船的最大航行速度为35海里/小时，上海至青岛的航行距离约为500海里，每小时的运输成本由燃料费用和其余费用组成. 轮船每小时使用的燃料费用与轮船速度的平方成正比（比例系数为0.6），其余费用为每小时960元． （1）把全程运输成本y元表示为速度x（海里/小时）的函数； （2）为了使全程运输成本最小，轮船应以多大的速度航行？ 【例4】（2021·上海市进才中学高三阶段练习）已知函数，其中． （1）讨论函数的零点的个数； （2）若存在实数m、n，使函数的定义域为，值域为，其中，求实数k的取值范围； （3）若存在实数m、n，使函数的定义域为，值域为，其中，求实数k的取值范围． 【例5】（2021·上海市吴淞中学高三阶段练习）设函数. （1）证明函数在上是递减函数，在上是递增函数； （2）函数，若实数，满足，求的最小值； （3）函数如（2）中所述，是定义在上的函数，当时，，且对任意的，都有成立，若存在实数满足，求的最大值. 【例6】（2021·上海·复旦附中高三阶段练习）我国西部某省4A级风景区内住着一个少数民族村，该村投资了800万元修复和加强民俗文化基础设施，据调查，修复好村民俗文化基础设施后任何一个月内（每月按30天计算）每天的旅游人数与第x天近似地满足（千人），且参观民俗文化村的游客人均消费近似地满足（元） （1）求该村的第x天的旅游收入（单位千元，，）的函数关系； （2）若以最低日收入的20%作为每一天纯收入的计量依据，并以纯收入的5%的税率收回投资成本，试问该村在两年内能否收回全部投资成本？（一年以365天计） 【例7】（2021·上海交大附中高三开学考试）如图所示：一吊灯的下圆环直径为4米，圆心为O，通过细绳悬挂在天花板上，圆环呈水平状态，并且与天花板的距离（即）为2米，在圆环上设置三个等分点，点C为上一点（不包含端点O、B），同时点C与点均用细绳相连接，且细绳的长度相等．设细绳的总长（即）为y米． （1）设，将y表示成的函数关系式，并指出的范围； （2）请你设计，当角正弦值的大小是多少时，细绳总长y最小，并指明此时应为多长（精确至0.