课时9.4 矩形、菱形、正方形（3）正方形的性质和判定-【满分计划】2021-2022学年八年级数学下册同步课时学优精练（苏科版）

课时9.4 矩形、菱形、正方形（3） 正方形的性质和判定 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ · 正方形的性质和判定 1．下列说法正确的是（       ） A．平行四边形既是中心对称图形也是轴对称图形 B．矩形的对角线不可能垂直 C．菱形的对角线不可能相等 D．对角线互相平分、垂直且相等的四边形是正方形 【答案】D 【解析】根据平行四边形、矩形、菱形的性质以及正方形的判定方法可以得到答案． 【详解】解：A.平行四边形是中心对称图形不是轴对称图形，故该选项错误； B．矩形如果是正方形的时候，它的对角线可能垂直，故该选项错误； C．菱形如果是正方形的时候，它的对角线可能相等，故该选项错误； D、根据正方形的判定方法，故该选项正确．故选：D． 【点睛】本题主要考查特殊四边形对角线的性质以及正方形的判定方法，熟练掌握性质是解题的关键． 2．如图，边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转45°后得到正方形AB1C1D1，边B1C1与CD交于点O，则四边形AB1OD的周长是（       ） A． B．2 C．1＋ D．3 【答案】B 【解析】连接AC，由边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转45°后得到正方形AB1C1D1，先求B1C，再根据等腰直角三角形的性质，勾股定理可求B1O，OD，从而可求四边形AB1OD的周长． 【详解】解：连接AC， ∵四边形ABCD为正方形， ∴∠CAB＝45°， ∵正方形ABCD绕点A逆时针旋转45°， ∴∠B1AB＝45°， ∴点B1在线段AC上， 在Rt△ABC中， ∴B1C＝ 在等腰Rt△OB1C中，OB1＝B1C＝ ， 在直角三角形OB1C中，OC＝（）＝2﹣， ∴OD＝1﹣OC＝1-（2﹣）=-1+， ∴四边形AB1OD的周长是：AD+AB1+ B1C +OD＝AD+AC+OD=1+-1+=2． 故选：B． 【点睛】本题考查了正方形的性质，旋转的性质，勾股定理以及等腰直角三角形的性质，做题的关键是连接AC构造等腰Rt△OB1C是解题的关键，注意旋转中的对应关系． 3．如图，E是正方形ABCD的边DC上一点，把△ADE绕点A顺时针旋转90°到△ABF的位置．若四边形AECF的面积为20，DE=2，则AE的长为________． 【答案】 【解析】利用旋转的性质得出四边形AECF的面积等于正方形ABCD的面积，进而可求出正方形的边长，再利用勾股定理得出答案． 【详解】解：∵△ADE绕点A顺时针旋转90°到△ABF的位置． ∴四边形AECF的面积等于正方形ABCD的面积等于20， ∴， ∵DE=2， ∴Rt△ADE中，，故答案为：． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质以及正方形的性质，正确利用旋转的性质得出对应边关系是解题关键． 4．如图，在正方形ABCD中，AB＝4，E为对角线AC上与A，C不重合的一个动点，过点E作EF⊥AB于点F，EG⊥BC于点G，连接DE，FG，下列结论：①DE＝FG；②DE⊥FG；③∠BFG＝∠ADE；④FG的最小值为3．其中正确结论的序号为__． 【答案】①②③ 【解析】①连接BE，可得四边形EFBG为矩形，可得BE＝FG；由△AEB≌△AED可得DE＝BE，所以DE＝FG；②由矩形EFBG可得OF＝OB，则∠OBF＝∠OFB；由∠OBF＝∠ADE，则∠OFB＝∠ADE；由四边形ABCD为正方形可得∠BAD＝90°，即∠AHD+∠ADH＝90°，所以∠AHD+∠OFH＝90°，即∠FMH＝90°，可得DE⊥FG；③由②中的结论可得∠BFG＝∠ADE；④由于点E为AC上一动点，当DE⊥AC时，根据垂线段最短可得此时DE最小，最小值为2，由①知FG＝DE，所以FG的最小值为2． 【详解】解：①连接BE，交FG于点O，如图， ∵EF⊥AB，EG⊥BC， ∴∠EFB＝∠EGB＝90°． ∵∠ABC＝90°， ∴四边形EFBG为矩形． ∴FG＝BE，OB＝OF＝OE＝OG． ∵四边形ABCD为正方形， ∴AB＝AD，∠BAC＝∠DAC＝45°． 在△ABE和△ADE中，， ∴△ABE≌△ADE（SAS）． ∴BE＝DE． ∴DE＝FG． ∴①正确； ②延长DE，交FG于M，交FB于点H， ∵△ABE≌△ADE， ∴∠ABE＝∠ADE． 由①知：OB＝OF， ∴∠OFB＝∠ABE． ∴∠OFB＝∠ADE． ∵∠BAD＝90°， ∴∠ADE+∠AHD＝90°． ∴∠OFB+∠AHD＝90°． 即：∠FMH＝90°， ∴DE⊥FG． ∴②正确； ③由②知：∠OFB＝∠ADE． 即：∠BFG＝∠ADE． ∴③正确； ④∵点E为AC上一动点， ∴根据垂线段最短，当DE⊥AC时，DE最小． ∵AD＝CD＝4，∠