课时9.4 矩形、菱形、正方形（2）菱形的性质和判定-【满分计划】2021-2022学年八年级数学下册同步课时学优精练（苏科版）

课时9.4 矩形、菱形、正方形（2） 菱形的性质和判定 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ · 菱形的性质和判定 1．如图，在菱形中，，连接，，若，则的长为（　　） A． B．8 C． D．16 【答案】C 【解析】如图，设AC，BD交于O，根据菱形的性质得到AC⊥BD，AC=2AO，OD=BD=4，∠DAO=∠DAB=30°，求得AD=2OD=8，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】解：如图，设AC，BD交于O， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD，AC=2AO，OD=BD=4，∠DAO=∠DAB=30°， ∴AD=2OD=8， ∴， ∴AC=2AO=，故选：C． 【点睛】此题考查了菱形的性质，掌握菱形的四边相等，对角线互相垂直且平分是解题的关键， 2．在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，如果AC＝6，BD＝8，那么菱形ABCD的面积是（　　） A．6 B．12 C．24 D．48 【答案】C 【解析】利用菱形的面积公式即可求解． 【详解】解：菱形ABCD的面积＝＝＝24，故选：C． 【点睛】本题考查菱形的面积公式，菱形的面积等于对角线乘积的一半． 3．下列说法中，不正确的是（       ） A．四个角都相等的四边形是矩形 B．对角线互相平分且平分每一组对角的四边形是菱形 C．正方形的对角线所在的直线是它的对称轴 D．一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形 【答案】D 【解析】根据矩形的判定，正方形的性质，菱形和平行四边形的判定对各选项分析判断后利用排除法求解． 【详解】解：A、四个角都相等的四边形是矩形，说法正确； B、正方形的对角线所在的直线是它的对称轴，说法正确； C、对角线互相平分且平分每一组对角的四边形是菱形，说法正确； D、一组对边相等且平行的四边形是平行四边形，原说法错误；故选：D． 【点睛】本题主要考查特殊平行四边形的判定与性质，熟练掌握特殊平行四边形相关的判定与性质是解答本题的关键． 4．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，点P是对角线BD上一点，过点P分别作PE⊥AB，PF⊥AD，垂足分别是点E、F，若OA＝4，S菱形ABCD＝24，则PE+PF的长为（　　） A． B．3 C． D． 【答案】D 【解析】根据菱形的面积以及的长，求得的长，勾股定理求得边长，进而根据菱形的面积等于，即可求得答案． 【详解】解：∵四边形是菱形 ∴， OA＝4，S菱形ABCD＝24， 即 中， 连接 PE⊥AB，PF⊥AD， S菱形ABCD＝24， ，故选D 【点睛】本题考查了菱形的性质，勾股定理，掌握菱形的性质是解题的关键． 5．如图，在▱ABCD中，点E在BC边上，AE平分∠BAD，点F在AD边上，EFAB． (1)求证：四边形ABEF是菱形； (2)若AB＝2，BC＝3，点P在线段AE上运动，请直接回答当点P在什么位置时，PC+PF取得最小值，最小值是多少． 【答案】(1)见解析 (2)点与点重合时，最小，最小值为 【解析】（1）根据对边平行可得四边形是平行四边形，根据平行线，角平分线的定义，以及等角对等边可得，进而证明四边形是菱形； （2）根据菱形的对称性可知与关于对称，根据点P在线段AE上，可得，代入数值即可求解． (1)四边形是平行四边形， 四边形是平行四边形 AE平分∠BAD， 四边形是菱形 (2)四边形是菱形与关于对称， ， 当点与点重合时，最小，最小值为 【点睛】本题考查了菱形的性质与判定，轴对称的性质求线段和的最值问题，掌握菱形的性质与判定是解题的关键． 6．已知：如图，矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点E，作，，CF与DF相交于点F．求证：四边形DECF为菱形． 【答案】见解析 【解析】由两个平行条件可判定四边形DECF是平行四边形，再由矩形的性质可得CE=DE，从而可得四边形DECF是菱形． 【详解】∵CF∥BD，DF∥AC， ∴四边形DECF是平行四边形， ∵四边形ABCD是矩形， ∴CE＝AC，DE＝BD，AC＝BD， ∴CE＝DE，      ∴平行四边形DECF为菱形． 【点睛】本题考查了菱形的判定、矩形的性质，掌握菱形的判定是解题的关键． 【划考点】 1、菱形的概念：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。 2、菱形的性质： （1）具有平行四边形的一切性质 （2）菱形的四条边相等 （3）菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角 （4）菱形是轴对称图形 3、菱形的判定： （1）定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形。 （2）定理1：四边都相等的四边形是菱形。 （3）定理2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形。 4、菱形的面积：S菱形=底边长×高=两条对角线乘积的一半