第3章 专题拓展 整式的乘法的几何背景研究-2021-2022学年七年级下册初一数学同步课时培优作业（浙教版）

拓展与培优 38 专题拓展 整式的乘法的几何背景研究 一、夯实基础 1.如图,是变压器中的L型硅钢 片,其面积为 ( ) A.4a2-b2 B.4ab-b2 C.4ab D.4a2-4ab-b2 2.如图,从边长为(a+1)cm的正方形纸片中 剪去一个边长为(a-1)cm的正方形(a>1),剩余 部分沿虚线又剪拼成一个矩形(不重叠无缝隙),则 该矩形的面积是 ( ) A.2cm2 B.2acm2 C.4acm2 D.(a2-1)cm2 3.图(1)是一个长为2m,宽为2n(m>n)的长 方形,用剪刀沿图中虚线(对称轴)剪开,把它分成 四块形状和大小都一样的小长方形,然后按图(2) 那样拼成一个正方形,则中间空的部分的面积是 ( ) A.2mn B.(m+n)2 C.(m-n)2 D.m2-n2 4.有若干张如图所示的正方形A 类、B 类卡片 和长方形C 类卡片,如果要拼成一个长为(3a+b), 宽为(a+2b)的大长方形,则需要C 类卡片 张. 5.眉山市三苏雕像广场 是为了纪念三苏父子而修建 的.原是一块长为(4a+2b) 米,宽为(3a-b)米的长方形 地块,现在政府对广场进行 改造,计划将如图四周阴影部分进行绿化,中间将 保留边长为(a+b)米的正方形三苏父子雕像,则绿 化的面积是多少平方米? 并求出当a=20,b=10时 的绿化面积. 二、典型例题 例1 某班同学 学习整式乘除这一章 后,要带领本组的成 员共 同 研 究 课 题 学 习,现在全组同学有4个能够完全重合的长方形, 长、宽分别为a,b.在研究的过程中,一位同学用这 4个长方形摆成了一个大的正方形.如图所示,由左 图至右图,利用面积的不同表示方法写出一个代数 恒等式是 ( ) A.a2+2ab+b2=(a+b)2 B.4ab=(a+b)2-(a-b)2 C.a2-2ab+b2=(a-b)2 D.(a+b)(a-b)=a2-b2 点拨:(1)由左图至右图,抓住面积相等是解题关键; (2)4个长方形的面积为4ab,右图中大正方形 的边长为a+b,小正方形的边长为a-b,因此可得 恒等式4ab=(a+b)2-(a-b)2. 变式练习1 如图甲是一个长2m,宽为2n 的长方 形,沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形,然后 按图乙的形状拼成一个正方形. (1)求图乙中阴影部分的面积. (2)观察图乙,请你写出三个代数式(m+n)2, (m-n)2,mn 之间的等量关系式. (3)根据(2)中的结论,若x+y=-6,xy= 2.75,求x-y 的值. (4)有许多代数恒等式可以用图形的面积来表 示.如图丙,它表示了(2m+n)(m+n)=2m2+ 3mn+n2. 试画一个几何图形,使它的面积能表示:(m+ n)(m+3n)=m2+4mn+3n2. 甲 乙 丙 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 数学 七年级下册 39 例2 (1)如图,甲类纸片是边长为2的正方形,乙 类纸片是边长为1的正方形,丙类纸片是长、宽边长 分别是2和1的长方形.现有甲类纸片1张,乙类纸 片4张,则应至少取丙类纸片 张才能用它 们拼成一个新的正方形. 甲 乙 丙 (2)如图,有三种卡片,其中边长为a 的正方形 卡片1张,边长分别为a、b的矩形卡片6张,边长为 b的正方形卡片9张.用这16张卡片拼成一个正方 形,则这个正方形的边长为 . 点拨:(1)面积相等始终是解决此类问题的关键; (2)对于问题(1)甲类纸片1张,乙类纸片4张, 面积和为8,符合题意的大于8的最小平方数是16, 所以推测需要丙类纸片4张,最后画图验证即可;对 于问题(2),它是问题(1)的一般情形,可利用完全 平方公式解决,已知16张卡片拼成一个正方形的面 积为a2+6ab+9b2,而a2+6ab+9b2=(a+3b)2, 因此正方形的边长为a+3b. 变式练习2 我们知道,可以利用直观的几何图形 形象地表示一些代数恒等式. 例如:(2a+b)(a+b)=2a2+3ab+b2,可以用 图1的面积关系来表示.还有许多代数恒等式也可 以用几何图形面积来表示其正确性. 图1 图2 图3 (1)根