8.2 立体图形的直观图-2021-2022学年高一数学下学期题型分类归纳同步讲义（人教A版2019必修第二册）

8.2 立体图形的直观图 一、空间几何体的直观图的概念 直观图是观察者在某一点观察一个空间几何体获得的图形; 直观图是把空间图形画在平面内,既富有立体感,又能表达出图形各主要部分的位置关系和度量关系的图形。 二、立体图形的直观图的画法 1、斜二测画法:我们常用斜二测画法画空间图形及水平放置的平面图形的直观图. 斜二测画法是一种特殊的平行投影画法. (1)“斜”:在已知图形的平面内与轴垂直的线段,在直观图中均与轴承或 (2)“二测”:两种度量形式,即在直观图中,平行于轴或轴的线段长度不变; 平行于轴的长度变成原来的一半, 2、平面图形直观图的画法及要求 第一步建系:在已知图中取互相垂直的轴和轴,两轴相交于点, 画直观图时,把他们弧长对应的轴和轴,两轴相交于, 且使(或),它们确定的平面表示水平面; 第二步平行不变:已知图形中平行与轴和轴的线段, 在直观图中分别画出平行与轴或轴的线段; 第三步长度规则:已知图形中平行于轴的线段,在直观图中保持原长度不变, 平行于轴的线段,长度变为原来的一半, 3、空间几何体直观图的画法 (1)与平面图形的直观图相比,多画一个与x轴、y轴都垂直的z轴,直观图中与之对应的是z′轴; (2)平面x′O′y′表示水平平面,平面y′O′z′和x′O′z′表示竖直平面; (3)已知图形中平行于z轴(或在z轴上)的线段,在其直观图中平行性和长度都不变. (4)成图:去掉辅助线,将被遮挡的部分改为虚线. 4、直观图与原图之间的“变”与“不变” “三变”:(1)坐标轴的夹角改变; (2)与轴平行的线段长度变为原来的一半; (3)图形改变。 “三不变”:(1)平行性不改变; (2)与轴和轴平行的线段长度不改变; (3)相对位置不改变。 三、直观图与原图多边形面积之间的关系 若一个多边形的面积为,它的直观图的面积为,则有, 举个例子:以三角形为例,如图,设元三角形的底为,高为, 则其面积为, 在直观图中,,, 在直观图中, 题型一 斜二测画法辨析 【例1】关于“斜二测画法”,下列说法不正确的是( ) A.原图形中平行于x轴的线段,其对应线段平行于轴,长度不变 B.原图形中平行于y轴的线段,其对应线段平行于轴,长度变为原来的 C.在画与直角坐标系对应的坐标系时,必须是45° D.在画直观图时,由于选轴的不同,所得的直观图可能不同 【答案】C 【解析】根据斜二测画法的规则,平行于x轴或在x轴上的线段其长度在直观图中不变, 平行于y轴或在y轴上的线段其长度在直观图中变为原来的, 并且或135°,故选:C. 【变式1-1】利用斜二测画法画直观图时,下列说法中正确的是( ) ①两条相交直线的直观图是平行直线; ②两条垂直直线的直观图仍然是垂直直线; ③正方形的直观图是平行四边形; ④梯形的直观图是梯形. A.①② B.③④ C.①③ D.②④ 【答案】B 【解析】根据斜二测画法的规则,可得两条相交直线的直观图仍然是相交直线,所以①错; 两条垂直直线的直观图是两条相交但不垂直的直线,所以②错; 根据直观图的画法中,平行性保持不变,可得③,④正确.故选:B. 【变式1-2】下列说法正确的是( ) A.互相垂直的两条直线的直观图仍然是互相垂直的两条直线 B.梯形的直观图可能是平行四边形 C.矩形的直观图可能是梯形 D.正方形的直观图可能是平行四边形 【答案】D 【解析】A项,原图形相互垂直的两条直线在直观图中不一定相互垂直,故A项错误。 B项,原图形中平行的两条线段仍然平行,不平行的两条线段也不会平行, 所以梯形的直观图不可能为平行四边形,故B项错误。 C项,原图形相互垂直的两条直线在直观图中不一定仍然相互垂直, 但是原图形相互平行的两条线段在直观图中仍然互相平行, 所以矩形的直观图中对边仍然平行, 所以矩形的直观图可能为平行四边形而不能为梯形。故C项错误。 D项,原图形相互垂直的两条直线在直观图中不一定仍然相互垂直, 但是原图形相互平行的两条线段在直观图中仍然互相平行, 所以正方形中垂直的两边不一定仍然垂直,但是对边仍然平行, 所以正方形的直观图可能是平行四边形。故D项正确。选D 【变式1-3】下列命题中正确的是( ) A.利用斜二测画法得到的正方形的直观图是正方形 B.利用斜二测画法得到的平行四边形的直观图是平行四边形 C.有两个面平行,其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱 D.用一个平面去截棱锥,底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台 【答案】B 【解析】利用斜二测画法得到的正方形的直观图是平行四边形; 利用斜二测画法得到的平行四边形的直观图是平行四边形; 有两个面平行,其余各面都是平行四边形的几何体不一定是棱柱; 用一个平行于底面的平面去截棱锥,底面与截面之间的部分组成的几何体才是棱台; 因此B正确,选B. 题型二 已知原图