第04讲 离散型随机变量的数字特征-【帮课堂】2021-2022学年高二数学同步精品讲义（人教A版2019选择性必修第三册）

第04讲 离散型随机变量的数字特征 课程标准 课标解读 1.通过具体实例，理解离散型随机变量分布列的数字特征均值与方差; 2.能解决与离散型随机变量相关的数学问题与实际问题中的均值与方差的求解问题. 3.能解决一些与平均水平与稳定性的简单问题与决策性问题. 通过本节课的学习,要求掌握离散型随机变量的均值与方差、标准差的求解，能解决与之相关的简单问题，有关决策性问题的处理意见与建议.会判断平均水平与稳定性. 知识点 1.离散型随机变量的均值或数学期望：一般地，若离散型随机变量X的分布列，如图所示 X … P … 则称 为随机变量X的均值或数学期望，简称期望。均值是随机变量可能取值关于取值概率的加权平均数，它综合了随机变量的取值和取值的概率，反映了随机变量取值的平均水平. 【微点拨】 1.求随机变量X的均值的方法和步骤 (1)理解随机变量X的意义，写出X所有可能的取值． (2)求出X取每个值的概率P(X＝k)． (3)写出X的分布列． (4)利用均值的定义求E(X)． 2.（1）期望是算术平均值概念的推广，是概率意义下的平均. （2）E(X(是一个实数，由X的分布列唯一确定，即作为随机变量X是可变的，可取不同值，而E(X(是不变的，它描述X取值的平均状态. （3）E(X(＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn直接给出了E(X(的求法，即随机变量取值与相应概率分别相乘后相加. 3. 两点分布的均值：一般地，如果随机变量X服从两点分布，那么E(X)＝0×(1－p)＋1×p＝p． 【微点拨】两点分布的特点 (1)两点分布中只有两个对应结果，且两个结果是对立的． (2)由对立事件的概率求法可知P(X＝0)＋P(X＝1)＝1． 4. 离散型随机变量的均值的性质： 若Y＝aX＋b，其中a，b均是常数(X是随机变量)，则Y也是随机变量，且E(aX＋b)＝aE(X)＋b． 5. 离散型随机变量的方差、标准差 设离散型随机变量X的分布列为 X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn 则(xi－E(X))2描述了xi(i＝1,2，…，n)相对于平均值E(X)的偏离程度，而D(X)＝ 为随机变量X的标准差．记为 [xi－E(X)]2pi为这些偏离程度的加权平均，刻画了随机变量X与其均值E(X)的平均偏离程度．我们称D(X)为随机变量X的方差，并称其算术方根. 6. 离散型随机变量方差的性质 (1)设a，b为常数，则D(aX＋b)＝a2D(X)； (2)D(c)＝0(其中c为常数)． 【微点拨】1.随机变量的方差和标准差都可以度量随机变量取值与其均值的偏离程度，反映了随机变量取值的离散程度。方差或标准差越小，随机变量的取值越集中；方差或标准差越大，随机变量的取值越分散. 一般地，随机变量的方差是非负常数． 2. 求离散型随机变量ξ的均值与方差的步骤 (1)理解ξ的意义，写出ξ可能的全部值． (2)求ξ取每个值的概率． (3)写出ξ的分布列． (4)由均值的定义求E(ξ)． (5)由方差的定义求D(ξ)． 【常用结论】若Y＝aX＋b，其中a，b是常数，X是随机变量，则 (1)E(k)＝k，D(k)＝0，其中k为常数； (2)E(aX＋b)＝aE(X)＋b，D(aX＋b)＝a2D(X)； (3)E(X1＋X2)＝E(X1)＋E(X2)； (4)D(X)＝E(X2)－(E(X))2； (5)若X1，X2相互独立，则E(X1·X2)＝E(X1)·E(X2)； 【即学即练1】已知Y＝5X＋1，E(Y)＝6，则E(X)的值为（       ） A． B．5 C．1 D．31 【即学即练2】若随机变量 的概率分布列如下表： 0 2 4 0.3 0.2 0.5 则 等于（       ）A．2031 B．12 C．3.04 D．15.2 【即学即练3】已知随机变量 满足 ，且 为正数，若 ，则（       ） A． B． C． D． 【即学即练4】某射手射击所得环数 的分布列如下：已知 的数学期望 ，则 的值为（       ） 7 8 9 10 0.1 0.3 A．0.8 B．0.6 C．0.4 D．0.2 【即学即练5】随机变量ζ的分布列如下图，若 则 （       ） A．6 B．2 C．0 D． 【即学即练6】（多选）下列说法中错误的是（       ） A．离散型随机变量 的均值 反映了 取值的概率的平均值 B．离散型随机变量 的方差 反映了 取值的平均水平 C．离散型随机变量 的均值 反映了 取值的平均水平 D．离散型随机变量 的方差 反映了 取值的概率的平均值 【即学