8.3 简单几何体的表面积和体积-【高分突破系列】2021-2022学年高一数学下学期同步知识点剖析精品讲义(人教A版2019必修第二册)

简单几何体的表面积和体积 1 柱体 ① 棱柱 体积: (其中是棱柱的高) ② 圆柱 (1) 侧面积: (2) 全面积: (3) 体积: (其中为底圆的半径,为圆柱的高) 2 锥体 ① 棱锥 棱锥体积:(其中为圆柱的高); ② 圆锥 (1) 圆锥侧面积: (2) 圆锥全面积: (其中为底圆的半径,为圆锥母线) (3) 圆锥体积: (其中为底圆的半径,为圆柱的高) 3台体 ① 圆台表面积 其中是上底面圆的半径,是下底面圆的半径,是母线的长度. ② 台体体积 其中分别为上,下底面面积,为圆台的高. 4 球体 面积,体积(其中为球的半径) 【题型一】几何体的表面积 【典题1】 已知正四棱柱中,,为上底面中心.设正四棱柱与正四棱锥的侧面积分别为,,则 . 【解析】 如图, 正四棱柱中,,, 则正四棱柱的侧面积分别为; 正四棱锥的斜高为. 正四棱锥的侧面积. . 【点拨】注意侧面积和全面积的区别. 【典题2】一个底面半径为,高为的圆锥中有一个内接圆柱,该圆柱侧面积的最大值为( ) 【解析】 圆锥的底面半径为,高为, 内接圆柱的底面半径为时,它的上底面截圆锥得小圆锥的高为 因此,内接圆柱的高; 圆柱的侧面积为: 令,当时; 所以当时,. 即圆柱的底面半径为时,圆柱的侧面积最大,最大值为. 故选:C. 【点拨】 ① 圆柱的侧面积,则需要知道圆柱的高与底圆半径; ② 在处理圆锥、圆柱问题时,要清楚母线、高、底圆的半径之间的关系,则要看轴截面(如下图),此时由相似三角形的性质可以得到每个量的关系. 【典题3】 一个圆台上、下底面半径分别为,高为,若其侧面积等于两底面面积之和,则下列关系正确的是( ) A.+ B.+ C.+ D.+ 【解析】设圆台的母线长为, 根据题意可得圆台的上底面面积为,圆台的下底面面积为, 圆台的侧面面积等于两底面面积之和, 侧面积,解之得 =, +.故选. 【点拨】在处理圆台问题时,要清楚母线、上底圆半径、下底圆半径、高之间的关系,则要看轴截面(如下图),有. 【题型二】几何体的体积 【典题1】 正方形被对角线和以为圆心,为半径的圆弧分成三部分,绕旋转,所得旋转体的体积之比是( ) A. B. C. D. 【解析】 设正方形的边长为,可得 图旋转所得旋转体为以为轴的圆锥体,高且底面半径 该圆锥的体积为; 图旋转所得旋转体,是以为半径的一个半球,减去图1旋转所得圆锥体而形成, 该圆锥的体积为; 图3旋转所得旋转体,是以为轴的圆柱体,减去图2旋转所得半球而形成, 该圆锥的体积为 综上所述, 由此可得图中三部分旋转所得旋转体的体积之比为.故选. 【点拨】 ① 圆锥是由直角三角形以某一直角边为轴旋转得到;圆柱是由矩形以某一边为轴旋转得到;球是由半圆以直径为轴旋转得到; ② 求解不规则图形可用“割补法”. 【典题2】 如图,圆锥形容器的高为,圆锥内水面的高为,且,若将圆锥的倒置,水面高为,则等于( ) A. B. C. D. 【解析】方法一 设圆锥形容器的底面积为,则未倒置前液面的面积为. 水的体积=. 设倒置后液面面积为S′,则,∴. 水的体积. ,解得. 故选 . 方法二 设容器为圆锥1,高为,体积为;倒置前液面上的锥体为圆锥2,高为,体积为;倒置后液面以下的锥体为圆锥3,高为,体积为. , 在倒置后,又有 【点拨】 ① 涉及圆台的表面积和体积,可把圆台补全为圆锥; ② 两个相似几何体,若相似比为,则对应线段比为,对应的平面面积比为,对应的几何体体积比是. 【典题3】 已知球的直径,,是该球球面上的两点,,,则棱锥的体积 . 【解析】由题可知一定在与直径垂直的小圆面上,作过的小圆交直径于, 如图所示, 设,则, 此时所求棱锥即分割成两个棱锥和, 在和中,由已知条件可得, 又因为为直径,所以, 所以, 所以在中,, 所以,解得,所以, 所以为正三角形, 所以. 【点拨】 ① 圆内直径所对的圆周角为; ② 若垂直于三棱锥的某棱长的截面面积为,棱长长,则三棱锥的体积为. 【题型三】与球有关的切、接问题 【典题1】 已知三棱锥的四个顶点在球的球面上,若,当三棱锥的体积取到最大值时,球的表面积为( ) 【解析】 如图,当三棱锥的体积取到最大值时,则平面平面,取的中点,连接,则分别取与的外心,分别过作平面与平面的垂线,相交于,则为四面体的球心,由,得正方形的边长为,则 四面体的外接球的半径 球的表面积为,故选:A. 【典题2】 如图,在一个底面边长为2,侧棱长为的正四棱锥中,大球内切于该四棱锥,小球与大球及四棱锥的四个侧面相切,则小球的体积为 . 【解析】设为正方形的中心,的中点为,连接,则, 3,2, 如图,在截面中,设为球与平面的切点, 则在上,且,设球的半径为,则, 因为, 所以,则, ,所以, 设球与球相切与点, 则,设球的半径为