8.6 空间直线、平面的垂直-【高分突破系列】2021-2022学年高一数学下学期同步知识点剖析精品讲义(人教A版2019必修第二册)

空间直线、平面的垂直 1线面垂直 ① 直线与直线垂直 (1) 异面直线所成的角 (i) 范围:; (ii) 作异面直线所成的角:平移法. 如图,在空间任取一点,过作,则所成的角为异面直线所成的角.特别地,找异面直线所成的角时,经常把一条异面直线平移到另一条异面直线的特殊点(如线段中点,端点等)上,形成异面直线所成的角. (2) 如果两条异面直线所成的角是直角,那么我们就说两条异面直线相互垂直. ② 直线与平面垂直 (1) 定义 若一条直线垂直于平面内的任意一条直线,则这条直线垂直于平面. 符号表述:若任意都有,则 (2) 判定定理 如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直,那么该直线与此平面垂直. (线线垂直线面垂直) (3) 性质 (线面垂直线线垂直) 垂直同一平面的两直线平行 (4) 证明线面垂直的方法 · 定义法(反证) · 判定定理(常用) · · · (面面垂直线面垂直) ③ 线面所成的角 (1) 定义 如下图,平面的一条斜线(直线)和它在平面上的射影()所成的角,叫做这条直线和这个平面所成的角. 一条直线垂直平面,则;一条直线和平面平行或在平面内,则. (2) 范围 直线和平面所成的角的取值范围是. 2 面面垂直 ① 二面角 (1) 定义 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角. 在二面角的棱上任取一点,以点为垂足,在半平面和内分别作垂直于棱的射线和,则射线和构成的叫做二面角的平面角. (2) 范围 二面角的平面角的取值范围是. ② 面面垂直 (1) 定义 若二面角的平面角为,则; (2) 判定定理 如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两个平面互相垂直. (线面垂直面面垂直) (3) 性质定理 两个平面垂直,如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线,那么这条直线与另一个平面垂直. (面面垂直线面垂直) 判断 (1) 如果平面平面,平面平面,,那么 (2) 如果平面平面,那么平面内一定存在直线平行于平面 (3) 如果平面平面,过内任意一点作交线的垂线,那么此垂线必垂直于 (4) 如果平面不垂直于平面,那么平面内一定不存在直线垂直于平面 【题型一】线面垂直的判定与性质 【典题1】如图,已知是正三角形,都垂直于平面,且,,是的中点,求证:(1)∥平面; (2)平面 【典题2】 为所在平面外一点,为在平面上的射影. (1)若两两互相垂直,则点是的 心; (2)若到三边距离相等,且在内部,则点是的 心; (3)若,则点是的 心; (4)若与底面成等角,则点是的 心. 【典题3】 如图,在矩形中,,,为边的中点,沿将折起,在折起过程中,有几个正确( ) ①平面 ②平面 ③平面 ④平面. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【题型二】面面垂直的判定与性质 【典题1】 如图,已知四棱锥中,已知底面,且底面为矩形,则下列结论中错误的是( ) A.平面平面 B.平面平面 C.平面平面 D.平面平面 【典题2】 如图,直角中,,,分别是边的中点,沿将折起至△FDE,且. (Ⅰ)求四棱锥的体积;(Ⅱ)求证:平面平面. 【典题3】 长方形中,,,是线段上一动点,且.将沿折起,使平面平面,在平面内作于,设,则的值可能为( ) A. B. C. D. 巩固练习 1(★★) 如图:所在的平面,是的直径,是上的一点,,,给出下列结论①,②,③,④平面,其中正确命题的序号是 ( ) A.①② B.①③ C.①②④ D.①③④ 2(★★) 垂直于正方形所在平面,连接,则下列垂直关系正确的是( ) ①面面 ②面⊥面 ③面⊥面 ④面面. A.①② B.①③ C.②③ D.②④ 3(★★) 已知边长为的正的中线与中位线相交于点,现将沿翻折为,如图是翻折过程中的一个图形,则下列四个结论: ①动直线与直线互相垂直; ②恒有平面平面; ③四棱锥的体积有最大值;④三棱锥的侧面积没有最大值. 其中正确结论的个数是( ) A. B. C. D. 4(★★) 如图所示,三棱锥的底面在平面α内,且,平面平面,点,是定点,则动点的轨迹是( ) A.一条线段 B.一条直线 C.一个圆 D.一个圆,但要去掉两个点 5(★★) 如图,已知平面平面,是平面与平面的交线上的两个定点,,,且,,,,,在平面上有一个动点,使得∠∠,则的面积的最大值是( ) A. B. C. D. 6(★★) 如图,在长方体中,底面是正方形,是的中点. (1)求证:;(2)若平面,求的值. 7 (★★★) 如图,在边长为的菱形中,.点分别在边上,点与点、不重合,沿将翻折到的位置,使平面平面. (1)求证:平面; (2)当取得最小值时,求四棱锥的体积. 8 (★★★) 如图,四棱锥的底面是正方形,侧棱底面,过作垂直交于点,作垂直交于点,平面交于点,是上的动点,且,. (1)试证明